Mostre que se tem A star(B star C)+B star(C star A)+C star(A star B)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a expressão é igual a zero. Isso está relacionado com a álgebra de Lie, que estuda estruturas matemáticas onde os elementos interagem através de um produto chamado de “comutador”. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona essa operação de estrela ( ) e aplicar algumas propriedades básicas da álgebra de Lie.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa A star B = AB - BA . Na álgebra de Lie, o comutador de dois elementos e é definido como:
onde é a multiplicação dos elementos e , e é a multiplicação na ordem inversa. Essa operação captura a “não-commutatividade” entre e .

Passo 3

Agora, vamos substituir cada ocorrência de A star (B star C) = A(B star C) - (B star C)A na expressão original pela definição do comutador:
B star (C star A) = B(C star A) - (C star A)B
C star (A star B) = C(A star B) - (A star B)C
Vamos calcular cada um desses termos separadamente.

Passo 4

Calculando A star (B star C) = A(BC - CB) - (BC - CB)A = ABC - ACB - BCA + CBA :
B star (C star A) = B(CA - AC) - (CA - AC)B = BCA - BAC - CAB + ACB
Analogamente, calculando C star (A star B) = C(AB - BA) - (AB - BA)C = CAB - CBA - ABC + BAC :
E calculando :

Passo 5

Agora, vamos somar todas as três expressões que obtivemos:
ABC - ACB - BCA + CBA + BCA - BAC - CAB + ACB + CAB - CBA - ABC + BAC
Vamos simplificar isso cancelando termos iguais com sinais opostos:
ABC - ABC + ACB - ACB + BCA - BCA + CBA - CBA + BAC - BAC + CAB - CAB = 0

Resposta

Assim, mostramos que .

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