Mostre que se tem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a expressão é igual a zero. Isso está relacionado com a álgebra de Lie, que estuda estruturas matemáticas onde os elementos interagem através de um produto chamado de “comutador”. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona essa operação de estrela ( ) e aplicar algumas propriedades básicas da álgebra de Lie.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa . Na álgebra de Lie, o comutador de dois elementos e é definido como:
onde é a multiplicação dos elementos e , e é a multiplicação na ordem inversa. Essa operação captura a “não-commutatividade” entre e .

Passo 3

Agora, vamos substituir cada ocorrência de na expressão original pela definição do comutador:
Vamos calcular cada um desses termos separadamente.

Passo 4

Calculando :
Analogamente, calculando :
E calculando :

Passo 5

Agora, vamos somar todas as três expressões que obtivemos:
Vamos simplificar isso cancelando termos iguais com sinais opostos:

Resposta

Assim, mostramos que .

Exercícios relacionados

Determine a matriz tal que onde
Mostre que não é associativa, isto é, .
(a) Sendo e , calcule .
Sejam os vetores e de . Verifique quais das funções , definidas abaixo, são produtos internos em :