Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a expressão é igual a zero. Isso está relacionado com a álgebra de Lie, que estuda estruturas matemáticas onde os elementos interagem através de um produto chamado de “comutador”. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona essa operação de estrela () e aplicar algumas propriedades básicas da álgebra de Lie.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa . Na álgebra de Lie, o comutador de dois elementos e é definido como:
onde é a multiplicação dos elementos e , e é a multiplicação na ordem inversa. Essa operação captura a “não-commutatividade” entre e .
Passo 3
Agora, vamos substituir cada ocorrência de na expressão original pela definição do comutador:
Vamos calcular cada um desses termos separadamente.
Passo 4
Calculando :
Analogamente, calculando :
E calculando :
Passo 5
Agora, vamos somar todas as três expressões que obtivemos:
Vamos simplificar isso cancelando termos iguais com sinais opostos: