Mostre que se tem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a expressão
é igual a zero. Isso está relacionado com a álgebra de Lie, que estuda estruturas matemáticas onde os elementos interagem através de um produto chamado de “comutador”. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona essa operação de estrela (
) e aplicar algumas propriedades básicas da álgebra de Lie.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa
. Na álgebra de Lie, o comutador de dois elementos
e
é definido como:
onde
é a multiplicação dos elementos
e
, e
é a multiplicação na ordem inversa. Essa operação captura a “não-commutatividade” entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir cada ocorrência de
na expressão original pela definição do comutador:
Vamos calcular cada um desses termos separadamente.
Passo 4
Calculando
:
Analogamente, calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Agora, vamos somar todas as três expressões que obtivemos:
Vamos simplificar isso cancelando termos iguais com sinais opostos:
Resposta
Assim, mostramos que
.