Determine a matriz inversa da matriz abaixo usando o método estudado nesta unidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar a matriz inversa da matriz que foi dada. A matriz inversa é tipo o “contrário” da matriz original, ou seja, quando você multiplica uma matriz pela sua inversa, dá a matriz identidade (que tem 1 na diagonal e 0 no resto). Para conseguir isso, vamos usar um método que envolve trabalhar com a matriz original junto com a matriz identidade e fazer umas manobras matemáticas. Vamos precisar entender um pouco sobre operações com matrizes e como transformar uma matriz em sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original e a matriz identidade lado a lado, formando uma matriz aumentada. A matriz identidade pra uma matriz 3x3 é:
Então, a matriz aumentada fica assim:
Passo 3
O objetivo agora é transformar a parte da esquerda (a matriz original) na matriz identidade, usando operações de linha. À medida que fazemos isso, a parte da direita vai se transformar na inversa da matriz original. As operações de linha que podemos usar são:
- Trocar duas linhas.
- Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
- Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Passo 4
Vamos começar fazendo com que o primeiro elemento da primeira linha seja 1. Atualmente, está como -1. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por -1:
Passo 5
Agora, queremos que abaixo do primeiro 1 na primeira coluna, os elementos sejam 0. Vamos subtrair a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - Linha1
Passo 6
Vamos agora trabalhar com o segundo elemento da segunda linha, que já é 3. Queremos que seja 1, então vamos dividir a segunda linha por 3:
Passo 7
Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 que está na segunda coluna da segunda linha. Primeiro, para zerar acima:
Linha1 = Linha1 + 2 * Linha2
Passo 8
Agora, para zerar abaixo do 1 na segunda coluna:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha2
Passo 9
Agora, vamos trabalhar com o terceiro elemento da terceira linha, que é 2. Queremos que seja 1, então vamos dividir a terceira linha por 2:
Passo 10
Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, na segunda linha:
Linha2 = Linha2 - (\frac{2}{3}) * Linha3
E na primeira linha:
Linha1 = Linha1 - (\frac{1}{3}) * Linha3
Simplificando as frações na primeira linha:
Resposta
Então, a matriz inversa é: