Determine a matriz inversa da matriz abaixo usando o método estudado nesta unidade.
[ccc -1 & 2 & 1 1 & 1 & 1 0 & 3 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar a matriz inversa da matriz que foi dada. A matriz inversa é tipo o “contrário” da matriz original, ou seja, quando você multiplica uma matriz pela sua inversa, dá a matriz identidade (que tem 1 na diagonal e 0 no resto). Para conseguir isso, vamos usar um método que envolve trabalhar com a matriz original junto com a matriz identidade e fazer umas manobras matemáticas. Vamos precisar entender um pouco sobre operações com matrizes e como transformar uma matriz em sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original e a matriz identidade lado a lado, formando uma matriz aumentada. A matriz identidade pra uma matriz 3x3 é:
I = [ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ]
Então, a matriz aumentada fica assim:
[ccc|ccc -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

O objetivo agora é transformar a parte da esquerda (a matriz original) na matriz identidade, usando operações de linha. À medida que fazemos isso, a parte da direita vai se transformar na inversa da matriz original. As operações de linha que podemos usar são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.

Passo 4

Vamos começar fazendo com que o primeiro elemento da primeira linha seja 1. Atualmente, está como -1. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por -1:
[ccc|ccc 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, queremos que abaixo do primeiro 1 na primeira coluna, os elementos sejam 0. Vamos subtrair a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - Linha1
[ccc|ccc 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 0 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 0 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Vamos agora trabalhar com o segundo elemento da segunda linha, que já é 3. Queremos que seja 1, então vamos dividir a segunda linha por 3:
[ccc|ccc 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 23 & 13 & 13 & 0 0 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 que está na segunda coluna da segunda linha. Primeiro, para zerar acima:
Linha1 = Linha1 + 2 * Linha2
[ccc|ccc 1 & 0 & 13 & -13 & 23 & 0 0 & 1 & 23 & 13 & 13 & 0 0 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 8

Agora, para zerar abaixo do 1 na segunda coluna:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha2
[ccc|ccc 1 & 0 & 13 & -13 & 23 & 0 0 & 1 & 23 & 13 & 13 & 0 0 & 0 & 2 & -1 & -1 & 1 ]

Passo 9

Agora, vamos trabalhar com o terceiro elemento da terceira linha, que é 2. Queremos que seja 1, então vamos dividir a terceira linha por 2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 13 & -13 & 23 & 0 0 & 1 & 23 & 13 & 13 & 0 0 & 0 & 1 & -12 & -12 & 12 ]

Passo 10

Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, na segunda linha:
Linha2 = Linha2 - (\frac{2}{3}) * Linha3
[ccc|ccc 1 & 0 & 13 & -13 & 23 & 0 0 & 1 & 0 & 23 & 23 & -13 0 & 0 & 1 & -12 & -12 & 12 ]
E na primeira linha:
Linha1 = Linha1 - (\frac{1}{3}) * Linha3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -13 + 16 & 23 + 16 & -16 0 & 1 & 0 & 23 & 23 & -13 0 & 0 & 1 & -12 & -12 & 12 ]
Simplificando as frações na primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -16 & 56 & -16 0 & 1 & 0 & 23 & 23 & -13 0 & 0 & 1 & -12 & -12 & 12 ]

Resposta

Então, a matriz inversa é:
A^-1 = [ccc -16 & 56 & -16 23 & 23 & -13 -12 & -12 & 12 ]

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