Resolva o sistema Linear abaixo por escalonamento e classifique seu conjunto solução em Possível e Indeterminado, Possível e Determinado, ou Impossível.
3 x+2 y-w & =1 x+y+z+w & =0 x+y & =-1 2 x+2 y+z+w & =-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado nos dá quatro equações com quatro incógnitas: , , e . A matéria que vamos usar aqui é sistemas lineares e a técnica chamada escalonamento (ou eliminação de Gauss). Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e usar operações de linha para simplificar o sistema até achar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma tabela:
3 & 2 & 0 & -1 & | & 1 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 1 & 1 & 0 & 0 & | & -1 2 & 2 & 1 & 1 & | & -1

Passo 3

Agora, o objetivo é criar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que é 3). Para fazer isso, vamos usar operações de linha, como trocar linhas ou multiplicar uma linha por um número.
Primeiro, vamos trocar a primeira linha com a segunda para facilitar os cálculos:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 3 & 2 & 0 & -1 & | & 1 1 & 1 & 0 & 0 & | & -1 2 & 2 & 1 & 1 & | & -1

Passo 4

Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, usamos as seguintes operações:
  • Linha 2 = Linha 2 - 3 * Linha 1
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 1
Aplicando essas operações:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & -3 & -4 & | & 1 0 & 0 & -1 & -1 & | & -1 0 & 0 & -1 & -1 & | & -1

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna e criar um 1 para facilitar. Podemos multiplicar a Linha 2 por -1:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 3 & 4 & | & -1 0 & 0 & -1 & -1 & | & -1 0 & 0 & -1 & -1 & | & -1

Passo 6

Vamos zerar os elementos abaixo do 1 na segunda coluna. Observamos que as Linhas 3 e 4 já têm zeros nessa posição, então não precisamos fazer nada aqui.

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos um 1 na terceira linha da terceira coluna. Podemos multiplicar a Linha 3 por -1:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 3 & 4 & | & -1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 1 0 & 0 & -1 & -1 & | & -1

Passo 8

Vamos zerar o elemento abaixo do 1 na terceira coluna usando a Linha 4:
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 3
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 3 & 4 & | & -1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 9

Observamos que a quarta linha virou x + y + z + w = 0 y + 3z + 4w = -1 z + w = 1 , o que indica que não há restrição adicional nessa equação. Agora, temos um sistema simplificado:

Passo 10

Vamos resolver de baixo para cima. Começamos com a terceira equação:
z + w = 1 Rightarrow z = 1 - w

Passo 11

Substituímos y + 3(1 - w) + 4w = -1 y + 3 - 3w + 4w = -1 y + 3 + w = -1 y + w = -4 Rightarrow y = -4 - w na segunda equação:

Passo 12

Agora, substituímos x + (-4 - w) + (1 - w) + w = 0 x - 4 - w + 1 - w + w = 0 x - 3 - w = 0 x = 3 + w e na primeira equação:

Passo 13

Até aqui, conseguimos expressar todas as variáveis em termos de . Isso significa que é um parâmetro livre e pode assumir qualquer valor real. Portanto, o sistema tem infinitas soluções, caracterizando um conjunto solução possível e indeterminado.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, ou seja, o conjunto solução é possível e indeterminado.

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