Resolva o sistema Linear abaixo por escalonamento e classifique seu conjunto solução em Possível e Indeterminado, Possível e Determinado, ou Impossível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado nos dá quatro equações com quatro incógnitas: , , e . A matéria que vamos usar aqui é sistemas lineares e a técnica chamada escalonamento (ou eliminação de Gauss). Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e usar operações de linha para simplificar o sistema até achar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma tabela:
Agora, o objetivo é criar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que é 3). Para fazer isso, vamos usar operações de linha, como trocar linhas ou multiplicar uma linha por um número.
Primeiro, vamos trocar a primeira linha com a segunda para facilitar os cálculos:
Vamos zerar os elementos abaixo do 1 na segunda coluna. Observamos que as Linhas 3 e 4 já têm zeros nessa posição, então não precisamos fazer nada aqui.
Passo 7
Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos um 1 na terceira linha da terceira coluna. Podemos multiplicar a Linha 3 por -1:
Observamos que a quarta linha virou x + y + z + w = 0 y + 3z + 4w = -1 z + w = 1 , o que indica que não há restrição adicional nessa equação. Agora, temos um sistema simplificado:
Passo 10
Vamos resolver de baixo para cima. Começamos com a terceira equação:
z + w = 1 Rightarrow z = 1 - w
Passo 11
Substituímos y + 3(1 - w) + 4w = -1 y + 3 - 3w + 4w = -1 y + 3 + w = -1 y + w = -4 Rightarrow y = -4 - w na segunda equação:
Passo 12
Agora, substituímos x + (-4 - w) + (1 - w) + w = 0 x - 4 - w + 1 - w + w = 0 x - 3 - w = 0 x = 3 + w e na primeira equação:
Passo 13
Até aqui, conseguimos expressar todas as variáveis em termos de . Isso significa que é um parâmetro livre e pode assumir qualquer valor real. Portanto, o sistema tem infinitas soluções, caracterizando um conjunto solução possível e indeterminado.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, ou seja, o conjunto solução é possível e indeterminado.