Dê exemplo de dois S.V. de
e
, tais que
não é subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com espaços vetoriais, mais especificamente com o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que a gente chama de
. O objetivo aqui é encontrar dois subespaços,
e
, de
, de tal forma que a união desses dois subespaços,
, não seja um subespaço vetorial. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se a união de dois subespaços também é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
é um conjunto de polinômios que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero (no nosso caso, o polinômio zero).
- É fechado para a adição. Se dois polinômios estão no subespaço, a soma deles também está.
- É fechado para a multiplicação por escalar. Se um polinômio está no subespaço, qualquer múltiplo dele também está.
Passo 3
Agora, vamos escolher dois subespaços específicos. Vamos definir:
-
como o conjunto de todos os polinômios em que têm o termo constante igual a zero. Ou seja: -
como o conjunto de todos os polinômios em que têm o termo com igual a zero. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos analisar a união
. Esse conjunto inclui todos os polinômios que estão ou em
ou em
. Por exemplo,
está em ambos, mas
está apenas em
e
está apenas em
.
Para verificar se
é um subespaço, precisamos checar as três condições mencionadas no Passo 2. Vamos focar na fechadura para adição. Pegue dois polinômios de
, por exemplo:
-
(que está em ) -
(que está em )
A soma deles é:
Esse polinômio não está nem em
(pois tem termo constante) nem em
(pois tem termo com
). Portanto, a união
não é fechada para adição, o que significa que ela não é um subespaço vetorial.
Resposta
Encontrei dois subespaços
e
de
cuja união
não é um subespaço vetorial, já que não satisfaz a condição de fechadura para adição.