Dê exemplo de dois S.V. de e , tais que não é subespaço vetorial de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com espaços vetoriais, mais especificamente com o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que a gente chama de . O objetivo aqui é encontrar dois subespaços, e , de , de tal forma que a união desses dois subespaços, , não seja um subespaço vetorial. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se a união de dois subespaços também é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de é um conjunto de polinômios que satisfaz três condições:
Contém o vetor zero (no nosso caso, o polinômio zero).
É fechado para a adição. Se dois polinômios estão no subespaço, a soma deles também está.
É fechado para a multiplicação por escalar. Se um polinômio está no subespaço, qualquer múltiplo dele também está.
Passo 3
Agora, vamos escolher dois subespaços específicos. Vamos definir:
como o conjunto de todos os polinômios em que têm o termo constante igual a zero. Ou seja:
como o conjunto de todos os polinômios em que têm o termo com igual a zero. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos analisar a união . Esse conjunto inclui todos os polinômios que estão ou em ou em . Por exemplo, está em ambos, mas está apenas em e está apenas em .
Para verificar se é um subespaço, precisamos checar as três condições mencionadas no Passo 2. Vamos focar na fechadura para adição. Pegue dois polinômios de , por exemplo:
(que está em )
(que está em )
A soma deles é:
Esse polinômio não está nem em (pois tem termo constante) nem em (pois tem termo com ). Portanto, a união não é fechada para adição, o que significa que ela não é um subespaço vetorial.
Resposta
Encontrei dois subespaços e de cuja união não é um subespaço vetorial, já que não satisfaz a condição de fechadura para adição.