Dê exemplo de dois S.V. de P^2(x), V1 e V2, tais que V1 cup V2 não é subespaço vetorial de P^2(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com espaços vetoriais, mais especificamente com o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que a gente chama de . O objetivo aqui é encontrar dois subespaços, e , de , de tal forma que a união desses dois subespaços, , não seja um subespaço vetorial. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se a união de dois subespaços também é um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de é um conjunto de polinômios que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero (no nosso caso, o polinômio zero).
  2. É fechado para a adição. Se dois polinômios estão no subespaço, a soma deles também está.
  3. É fechado para a multiplicação por escalar. Se um polinômio está no subespaço, qualquer múltiplo dele também está.

Passo 3

Agora, vamos escolher dois subespaços específicos. Vamos definir:
  • V1 = p(x) = ax^2 + bx mid a, b in R como o conjunto de todos os polinômios em V2 = p(x) = bx + c mid b, c in R que têm o termo constante igual a zero. Ou seja:
  • como o conjunto de todos os polinômios em que têm o termo com igual a zero. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos analisar a união p(x) + q(x) = x^2 + 1 . Esse conjunto inclui todos os polinômios que estão ou em ou em . Por exemplo, está em ambos, mas está apenas em e está apenas em .
Para verificar se é um subespaço, precisamos checar as três condições mencionadas no Passo 2. Vamos focar na fechadura para adição. Pegue dois polinômios de , por exemplo:
  • (que está em )
  • (que está em )
A soma deles é:
Esse polinômio não está nem em (pois tem termo constante) nem em (pois tem termo com ). Portanto, a união não é fechada para adição, o que significa que ela não é um subespaço vetorial.

Resposta

Encontrei dois subespaços e de cuja união não é um subespaço vetorial, já que não satisfaz a condição de fechadura para adição.

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