Determine a matriz inversa da matriz , utilizando:
utilizando a matriz aumentada com a forma escalonada reduzida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz inversa da matriz usando a matriz aumentada e a forma escalonada reduzida. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente na parte de matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz aumentada com a matriz identidade e realizar operações para chegar à forma reduzida.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a matriz aumentada. Isso significa que vamos colocar a matriz original ao lado da matriz identidade . A matriz identidade é uma matriz com 1s na diagonal principal e 0s no restante. Então, a matriz aumentada fica assim:
Passo 3
O próximo passo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (a matriz original) na matriz identidade usando operações elementares de linha. Essas operações são: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra linha.
Passo 4
Vamos começar tornando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Já está feito aqui, então vamos usar esse 1 para eliminar os outros números na primeira coluna.
Primeiro, eliminamos o 3 na segunda linha. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 3 vezes a primeira linha:
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora, eliminamos o 6 na terceira linha usando a primeira linha. Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos 6 vezes a primeira linha:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por -26 para que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1:
Passo 7
Em seguida, vamos eliminar o -50 na terceira linha, segunda coluna, usando a segunda linha. Substituímos a terceira linha por terceira linha mais 50 vezes a segunda linha:
Calculando:
Simplificando para :
Passo 8
Agora, queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por -1:
Passo 9
Vamos agora eliminar os 0.5 na segunda linha e 5 na primeira linha, que estão na coluna da terceira posição. Usando a terceira linha, substituímos a segunda e a primeira linha.
Primeiro, substituímos a segunda linha por segunda linha menos 0.5 vezes a terceira linha:
Calculando:
Simplificando:
Agora, substituímos a primeira linha por primeira linha menos 5 vezes a terceira linha:
Calculando:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos eliminar os 9 na primeira linha, segunda coluna, usando a segunda linha. Substituímos a primeira linha por primeira linha menos 9 vezes a segunda linha:
Calculando:
Simplificando:
Passo 11
Agora a matriz aumentada está na forma reduzida:
A parte da direita da matriz aumentada agora é a matriz inversa da matriz original.