Sendo A = [[3, 4], [-2, 1]] e B = [[5, -2], [0, 3]], determine a matriz X de ordem 2 tal que (X A)^-1 = B.

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente precisa encontrar uma matriz de ordem 2 tal que . Para isso, vamos precisar entender sobre inversas de matrizes e como elas se comportam em operações de multiplicação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inversa de uma matriz invertível é a matriz que satisfaz a condição , onde é a matriz identidade.

Passo 3

A gente tem a equação . Queremos isolar a matriz . Para isso, vamos inverter os dois lados da equação. Lembrando que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz, ou seja, .

Passo 4

Invertemos ambos os lados da equação:
Agora, queremos isolar . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de , , à direita.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Como , onde é a matriz identidade, a equação simplifica para:
E como qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:

Passo 6

Agora, precisamos calcular e para encontrar .
Primeiro, vamos encontrar :
Para uma matriz 2x2 , a inversa é:
Calculando o determinante de :
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Calculando o determinante de :
Então:

Passo 8

Agora que temos e , podemos encontrar :
Vamos multiplicar as duas matrizes:
Primeiro, multiplicamos as constantes:
Agora, multiplicamos as matrizes:
Então:

Resposta

A matriz que satisfaz é:

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