Sendo
e
, determine a matriz
de ordem 2 tal que
.
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente precisa encontrar uma matriz
de ordem 2 tal que
. Para isso, vamos precisar entender sobre inversas de matrizes e como elas se comportam em operações de multiplicação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inversa de uma matriz invertível
é a matriz
que satisfaz a condição
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
A gente tem a equação
. Queremos isolar a matriz
. Para isso, vamos inverter os dois lados da equação. Lembrando que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz, ou seja,
.
Passo 4
Invertemos ambos os lados da equação:
Agora, queremos isolar
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de
,
, à direita.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Como
, onde
é a matriz identidade, a equação simplifica para:
E como qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
e
para encontrar
.
Primeiro, vamos encontrar
:
Para uma matriz 2x2
, a inversa é:
Calculando o determinante de
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Calculando o determinante de
:
Então:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos encontrar
:
Vamos multiplicar as duas matrizes:
Primeiro, multiplicamos as constantes:
Agora, multiplicamos as matrizes:
Então:
Resposta
A matriz
que satisfaz
é: