Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções! A gente vai analisar a função . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e determinar seu domínio e imagem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais e como identificar onde elas estão definidas, além de analisar seus comportamentos no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida, ou seja, onde a função não gera uma divisão por zero ou outra operação indefinida.
Na nossa função , temos o denominador . Para que a função seja definida, esse denominador não pode ser zero:
Resolvendo a equação:
Então, a função não está definida para e . Portanto, o domínio da função é todos os números reais, exceto e .
Dominio:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Observando a função , podemos reescrever como:
Como o denominador é ao quadrado, é sempre positivo, exceto nos pontos onde é zero, que já excluímos no domínio. Portanto, é sempre positiva.
Além disso, o menor valor possível para ocorre quando está próximo de 4, mas nunca chega a zero. Isso faz com que nunca seja infinito, mas possa se aproximar de infinito quando se aproxima de 2 ou -2.
Imagem:, ou seja,
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função agora. Para isso, vamos identificar alguns pontos chave:
Assíntotas Verticais: Como a função não está definida em e , temos assíntotas verticais nesses pontos.
Comportamento nas extremidades: Quando tende a , domina, então tende a zero. Isso indica que o gráfico se aproxima do eixo (assíntota horizontal) à medida que vai para mais ou menos infinito.
Ponto de mínimo: O menor valor de ocorre quando é bem maior que 4, fazendo se aproximar de zero.
Simetria: A função é par, já que . Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo .
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico, que terá duas “avos” próximas das assíntotas verticais em e , e se aproximará do eixo conforme aumenta ou diminui.
Resposta
Domínio: Todos os números reais, exceto e .
Imagem: Todos os valores positivos, ou seja, .
O gráfico de apresenta duas assíntotas verticais em e , é simétrico em relação ao eixo e se aproxima do eixo conforme vai para .