Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções! A gente vai analisar a função
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e determinar seu domínio e imagem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais e como identificar onde elas estão definidas, além de analisar seus comportamentos no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida, ou seja, onde a função não gera uma divisão por zero ou outra operação indefinida.
Na nossa função
, temos o denominador
. Para que a função seja definida, esse denominador não pode ser zero:
Resolvendo a equação:
Então, a função não está definida para
e
. Portanto, o domínio da função é todos os números reais, exceto
e
.
Dominio:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Observando a função
, podemos reescrever como:
Como o denominador é ao quadrado,
é sempre positivo, exceto nos pontos onde é zero, que já excluímos no domínio. Portanto,
é sempre positiva.
Além disso, o menor valor possível para
ocorre quando
está próximo de 4, mas nunca chega a zero. Isso faz com que
nunca seja infinito, mas possa se aproximar de infinito quando
se aproxima de 2 ou -2.
Imagem:
, ou seja,
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função agora. Para isso, vamos identificar alguns pontos chave:
-
Assíntotas Verticais: Como a função não está definida em
e , temos assíntotas verticais nesses pontos. -
Comportamento nas extremidades: Quando
tende a , domina, então tende a zero. Isso indica que o gráfico se aproxima do eixo (assíntota horizontal) à medida que vai para mais ou menos infinito. -
Ponto de mínimo: O menor valor de
ocorre quando é bem maior que 4, fazendo se aproximar de zero. -
Simetria: A função é par, já que
. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo .
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico, que terá duas “avos” próximas das assíntotas verticais em
e
, e se aproximará do eixo
conforme
aumenta ou diminui.
Resposta
Domínio: Todos os números reais, exceto
e
.
Imagem: Todos os valores positivos, ou seja,
.
O gráfico de
apresenta duas assíntotas verticais em
e
, é simétrico em relação ao eixo
e se aproxima do eixo
conforme
vai para
.