Determine posto(D) e posto D^T. O que você observa sobre estes valores?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de dimensões 4x5 (4 linhas e 5 colunas). Nosso objetivo aqui é descobrir o posto dessa matriz, que é basicamente o número de linhas ou colunas que são linhamente independentes. Além disso, também vamos descobrir o posto da transposta dessa matriz, , e ver o que isso nos diz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o posto de uma matriz é igual ao número de linhas (ou colunas) que não podem ser escritas como combinação linear das outras. Para encontrar isso, a gente vai usar o método da eliminação de Gauss, que transforma a matriz em uma forma mais simples chamada forma escalonada.
Passo 3
Vamos começar aplicando operações nas linhas para simplificar a matriz :
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro 1:
Linha 2: , , etc.
Linha 3: , , etc.
Linha 4: , , etc.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na segunda posição da segunda linha para facilitar mais eliminações. Mas antes, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por -7:
Nossa matriz agora é:
Passo 5
Vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos acima e abaixo dela na segunda coluna:
Linha 1:
Linha 3:
Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos um 1 na terceira posição da terceira linha. Para isso, dividimos a terceira linha por 2:
Nossa matriz fica:
Passo 7
Vamos usar a terceira linha para eliminar os elementos acima e abaixo dela na terceira coluna:
Linha 1:
Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 8
Por último, vamos simplificar a quarta linha multiplicando por para ter um 1 na quarta coluna:
Nossa matriz final em forma escalonada é:
Passo 9
Agora, contamos quantas linhas não nulas temos na matriz escalonada. Cada linha não nula corresponde a uma linha independente. Neste caso, todas as 4 linhas têm pelo menos um número diferente de zero, então o posto da matriz é 4.
Passo 10
Como sabemos, o posto de uma matriz é igual ao posto da sua transposta. Portanto, o posto da matriz também é 4.
Resposta
O posto de é 4 e o posto de também é 4. Observamos que ambos os postos são iguais.