Seja
D = [[1, 3, -1, 2, 1], [2, -1, -2, 0, 2], [-1, -1, 3, 1, 1], [2, -2, 4, 5, 8]]
Determine posto(D) e posto D^T. O que você observa sobre estes valores?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de dimensões 4x5 (4 linhas e 5 colunas). Nosso objetivo aqui é descobrir o posto dessa matriz, que é basicamente o número de linhas ou colunas que são linhamente independentes. Além disso, também vamos descobrir o posto da transposta dessa matriz, , e ver o que isso nos diz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o posto de uma matriz é igual ao número de linhas (ou colunas) que não podem ser escritas como combinação linear das outras. Para encontrar isso, a gente vai usar o método da eliminação de Gauss, que transforma a matriz em uma forma mais simples chamada forma escalonada.

Passo 3

Vamos começar aplicando operações nas linhas para simplificar a matriz :
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro 1:
  • Linha 2:
    , , etc.
  • Linha 3:
    , , etc.
  • Linha 4:
    , , etc.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na segunda posição da segunda linha para facilitar mais eliminações. Mas antes, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por -7:
Nossa matriz agora é:

Passo 5

Vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos acima e abaixo dela na segunda coluna:
  • Linha 1:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos um 1 na terceira posição da terceira linha. Para isso, dividimos a terceira linha por 2:
Nossa matriz fica:

Passo 7

Vamos usar a terceira linha para eliminar os elementos acima e abaixo dela na terceira coluna:
  • Linha 1:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 8

Por último, vamos simplificar a quarta linha multiplicando por para ter um 1 na quarta coluna:
Nossa matriz final em forma escalonada é:

Passo 9

Agora, contamos quantas linhas não nulas temos na matriz escalonada. Cada linha não nula corresponde a uma linha independente. Neste caso, todas as 4 linhas têm pelo menos um número diferente de zero, então o posto da matriz é 4.

Passo 10

Como sabemos, o posto de uma matriz é igual ao posto da sua transposta. Portanto, o posto da matriz também é 4.

Resposta

O posto de é 4 e o posto de também é 4. Observamos que ambos os postos são iguais.

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f(x) = raiz(x + 2)
Para as funções f(x) e g(x) abaixo, faça o gráfico das funções f e g entre os valores de x que satisfazem f(x) = g(x), indicando o ponto de máximo ou mínimo da função f, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
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