Determine a matriz inversa da matriz , utilizando:
a resolução de sistemas lineares;
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar a matriz inversa da matriz . Para isso, vamos utilizar o método de resolução de sistemas lineares. Precisaremos aplicar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas de equações e propriedades de matrizes inversas.
Passo 2
Para encontrar a matriz inversa , precisamos resolver três sistemas lineares, um para cada coluna da matriz identidade. Isso significa que vamos encontrar três vetores coluna que, quando multiplicados pela matriz , resultam nas colunas da matriz identidade .
Passo 3
Primeiro, vamos resolver o sistema para a primeira coluna da identidade, que é . Montamos o sistema:
Passo 4
Resolvendo o primeiro sistema, encontramos os valores de , e que satisfazem as equações. Aplicando métodos de substituição ou eliminação, obtemos:
Logo, a primeira coluna da matriz inversa é .
Passo 5
Em seguida, resolvemos o sistema para a segunda coluna da identidade, :
Passo 6
Resolvendo o segundo sistema, encontramos:
Portanto, a segunda coluna da matriz inversa é .
Passo 7
Finalmente, resolvemos o sistema para a terceira coluna da identidade, :