Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a função
. O que precisamos fazer é desenhar o gráfico dessa função e descobrir qual é o domínio (os valores de
que a função aceita) e a imagem (os valores de
que a função pode produzir). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções com raiz quadrada e como determinar seus domínios e imagens.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a raiz quadrada. A expressão dentro da raiz, chamada de radicando, precisa ser sempre maior ou igual a zero porque não existe raiz quadrada de número negativo nos números reais. Então, para a nossa função
, precisamos garantir que
.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
:
Agora, vamos encontrar os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 4
Resolvendo
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Então, o domínio da função é todo número entre -2 e 2, inclusive. Em notação de intervalo, isso fica assim:
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores de
. Sabemos que
. Vamos analisar os valores que
pode assumir.
- Quando
:
- Quando
ou :
A raiz quadrada
varia de 0 a 2, então adicionando 1,
varia de 1 a 3. Portanto, a imagem da função é:
Passo 6
Para esboçar o gráfico da função, vamos entender sua forma. A função
representa a parte de cima de um círculo com raio 2 e centro no ponto (0,1). Isso porque a equação geral de um círculo é:
No nosso caso, rearranjando a função:
Comparando com a equação do círculo, vemos que
,
e
. Portanto, o gráfico é a meia-circunferência superior de um círculo com raio 2, centrado em (0,1).
Resposta
O domínio da função
é
, a imagem é
, e o gráfico é a metade superior de um círculo de raio 2 centrado no ponto (0, 1).