Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a função . O que precisamos fazer é desenhar o gráfico dessa função e descobrir qual é o domínio (os valores de que a função aceita) e a imagem (os valores de que a função pode produzir). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções com raiz quadrada e como determinar seus domínios e imagens.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a raiz quadrada. A expressão dentro da raiz, chamada de radicando, precisa ser sempre maior ou igual a zero porque não existe raiz quadrada de número negativo nos números reais. Então, para a nossa função , precisamos garantir que .
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade :
Agora, vamos encontrar os valores de que satisfazem essa desigualdade.
Passo 4
Resolvendo , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Então, o domínio da função é todo número entre -2 e 2, inclusive. Em notação de intervalo, isso fica assim:
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores de . Sabemos que . Vamos analisar os valores que pode assumir.
Quando :
Quando ou :
A raiz quadrada varia de 0 a 2, então adicionando 1, varia de 1 a 3. Portanto, a imagem da função é:
Passo 6
Para esboçar o gráfico da função, vamos entender sua forma. A função representa a parte de cima de um círculo com raio 2 e centro no ponto (0,1). Isso porque a equação geral de um círculo é:
No nosso caso, rearranjando a função:
Comparando com a equação do círculo, vemos que , e . Portanto, o gráfico é a meia-circunferência superior de um círculo com raio 2, centrado em (0,1).
Resposta
O domínio da função é , a imagem é , e o gráfico é a metade superior de um círculo de raio 2 centrado no ponto (0, 1).