Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
f(x)=(x-1)^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função e determinar seu domínio e imagem. Vamos usar conceitos de funções racionais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função racional. Ela é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. No nosso caso, temos . Essas funções têm alguns comportamentos específicos, como assíntotas verticais e horizontais.

Passo 3

Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Nesse caso, o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não existe. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os reais menos .
í

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os valores que pode assumir. Como , o valor de pode ser qualquer número real, exceto quando . Porém, uma fração só é zero quando o numerador é zero, e aqui o numerador é sempre 1. Portanto, a imagem é todos os reais.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico agora. Sabemos que há uma assíntota vertical em , porque a função não está definida nesse ponto e conforme se aproxima de 1, tende a ou . Além disso, como a função é do tipo deslocada, ela terá uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Plotando alguns pontos para ajudar:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Com esses pontos e as assíntotas, podemos desenhar o gráfico, que terá duas partes: uma no lado esquerdo da assíntota vertical (decrescendo para ) e outra no lado direito (crescendo para ).

Resposta

O domínio da função é todos os números reais menos 1, a imagem é todos os números reais, e o gráfico de possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em , com a curva se aproximando dessas assíntotas conforme se afasta de 1.

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