Determine x, y, z para que a matriz A = [[1, x, 5], [2, 7, -4], [y, z, -3]] seja simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e precisa encontrar os valores de , e para que essa matriz seja simétrica. Matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta, ou seja, os elementos acima da diagonal principal são iguais aos correspondentes abaixo dela. Para resolver isso, vamos comparar os elementos correspondentes da matriz com a sua transposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz , representada por , é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Então, se a matriz é:
A sua transposta será:
Para ser simétrica, precisa ser que .

Passo 3

Vamos comparar os elementos de e que não estão na diagonal principal (já que os elementos da diagonal são iguais):
  • O elemento na posição (1,2) de é e na posição (2,1) de é 2. Então:
  • O elemento na posição (1,3) de é 5 e na posição (3,1) de é . Então:
  • O elemento na posição (2,3) de é -4 e na posição (3,2) de é . Então:

Passo 4

Agora que já temos as equações, vamos resolver para encontrar os valores de , e :
  1. De , já temos .
  2. De , temos .
  3. De , temos .

Resposta

Os valores que tornam a matriz simétrica são:

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