Determine a matriz inversa da seguinte matriz ortogonal:
. Determine o determinante dessa matriz. Mostre que os vetores formados por suas colunas são ortogonais entre si.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz
, calcular o determinante dessa matriz e mostrar que os vetores das suas colunas são ortogonais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a matriz inversa, determinante e ortogonalidade de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa de
. A matriz inversa
de uma matriz
2x2 é dada por:
Aqui,
,
,
, e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de
. O determinante de uma matriz
é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Com o determinante encontrado, podemos agora determinar a matriz inversa:
Então, a matriz inversa de
é:
Passo 5
Agora, vamos verificar se os vetores das colunas de
são ortogonais entre si. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. As colunas de
são:
O produto escalar
é:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.
Resposta
A matriz inversa de
é:
O determinante de
é
.
Além disso, as colunas de
são vetores ortogonais entre si.