Determine a matriz inversa da seguinte matriz ortogonal: A=(cc12 & 12 -12 & 12). Determine o determinante dessa matriz. Mostre que os vetores formados por suas colunas são ortogonais entre si.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz 12 & 12 -12 & 12 , calcular o determinante dessa matriz e mostrar que os vetores das suas colunas são ortogonais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a matriz inversa, determinante e ortogonalidade de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa de A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . A matriz inversa de uma matriz 2x2 é dada por:
Aqui, , , , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = ad - bc . O determinante de uma matriz det(A) = (12)(12) - (12)(-12) = 14 + 14 = 24 = 12 é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o determinante encontrado, podemos agora determinar a matriz inversa:
A^-1 = 112 12 & -12 12 & 12 = 2 12 & -12 12 & 12 = 1 & -1 1 & 1
Então, a matriz inversa de A^-1 = 1 & -1 1 & 1 é:

Passo 5

Agora, vamos verificar se os vetores das colunas de v1 = 12 -12 , v2 = 12 12 são ortogonais entre si. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. As colunas de v1 cdot v2 = (12)(12) + (-12)(12) = 14 - 14 = 0 são:
O produto escalar é:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 1 & -1 1 & 1 é:
O determinante de é .
Além disso, as colunas de são vetores ortogonais entre si.

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