Seja T: R^3 mapsto R^3 a transformação linear tal que
T(x, y, z)=(x, 2 x+2 y-2 z, z)
Encontre todos os autovalores e autovetores da matriz canônica A da transformação T. A matriz A é diagonalizável? Se for, determine matrizes P inversível e D diagonal, tais que A=P D P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz canônica da transformação linear definida por . Além disso, precisamos verificar se a matriz é diagonalizável e, se for, encontrar as matrizes inversível e diagonal tais que .
Vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes para resolver isso. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a matriz canônica A = 1 & 0 & 0 2 & 2 & -2 0 & 0 & 1 da transformação . A matriz canônica de uma transformação linear é a matriz que representa a transformação nos eixos padrão.
Dado , a matriz será:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 2 & 2 - lambda & -2 0 & 0 & 1 - lambda
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Vamos calcular :

Passo 4

Calculando o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 2 - lambda & -2 0 & 1 - lambda - 0 + 0 :
= (1 - lambda) cdot [(2 - lambda)(1 - lambda) - (0)(-2)]
= (1 - lambda) cdot (2 - lambda)(1 - lambda)
= (1 - lambda)^2 (2 - lambda)

Passo 5

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^2 (2 - lambda) = 0
Então, os autovalores são:
lambda1 = 1 (com mu
lambda2 = 2

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para A - I = 0 & 0 & 0 2 & 1 & -2 0 & 0 & 0 :
Resolvemos 2v1 + v2 - 2v3 = 0 :
v2 = -2v1 + 2v3
Isso nos dá o sistema:
v = v1 1 -2 0 + v3 0 2 1
Podemos atribuir parâmetros livres para A - 2I = -1 & 0 & 0 2 & 0 & -2 0 & 0 & -1 e - v1 = 0 2v1 - 2v3 = 0 - v3 = 0 :
v = v2 0 1 0
Então, os autovetores são da forma:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da segunda e terceira equações, temos e . Assim, é livre.
Então, os autovetores são da forma:

Passo 7

Agora que encontramos todos os autovalores e autovetores, vamos verificar se a matriz é diagonalizável.
Uma matriz é diagonalizável se tiver um conjunto completo de autovetores linearmente independentes, ou seja, a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores deve ser igual à dimensão do espaço (neste caso, 3).
Temos:
  • com multiplicidade 2 e dois autovetores independentes.
  • com multiplicidade 1 e um autovetor.
Assim, temos 3 autovetores linearmente independentes, então é diagonalizável.

Passo 8

Agora, vamos construir as matrizes v1 = 1 -2 0 , v2 = 0 2 1 , v3 = 0 1 0 e P = 1 & 0 & 0 -2 & 2 & 1 0 & 1 & 0 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 .
A matriz será formada pelos autovetores como colunas, e será uma matriz diagonal com os autovalores correspondentes.
Escolhemos os autovetores:
Então,

Resposta

Os autovalores de v1 = 1 -2 0 , v2 = 0 2 1 , v3 = 0 1 0 são P = 1 & 0 & 0 -2 & 2 & 1 0 & 1 & 0 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 e . Os autovetores correspondentes são:
A matriz é diagonalizável, e as matrizes e que satisfazem são:

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