Encontre todos os autovalores e autovetores da matriz canônica da transformação . A matriz é diagonalizável? Se for, determine matrizes inversível e diagonal, tais que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz canônica da transformação linear definida por . Além disso, precisamos verificar se a matriz é diagonalizável e, se for, encontrar as matrizes inversível e diagonal tais que .
Vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes para resolver isso. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a matriz canônica da transformação . A matriz canônica de uma transformação linear é a matriz que representa a transformação nos eixos padrão.
Dado , a matriz será:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
Da segunda e terceira equações, temos e . Assim, é livre.
Então, os autovetores são da forma:
Passo 7
Agora que encontramos todos os autovalores e autovetores, vamos verificar se a matriz é diagonalizável.
Uma matriz é diagonalizável se tiver um conjunto completo de autovetores linearmente independentes, ou seja, a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores deve ser igual à dimensão do espaço (neste caso, 3).
Temos:
com multiplicidade 2 e dois autovetores independentes.
com multiplicidade 1 e um autovetor.
Assim, temos 3 autovetores linearmente independentes, então é diagonalizável.