Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é diagonalizar a matriz . Isso significa que a gente quer encontrar uma matriz diagonal e uma matriz invertível tal que . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar os autovalores da matriz . Para isso, vamos resolver a equação característica, que é dada por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de A - lambda I = 2 - lambda & 2 & 1 1 & -lambda & 1 2 & -2 & 3 - lambda :
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -2 1 2 :
Resolvendo -1 0 1 , chegamos aos autovetores da forma 2 1 2 .
Para :
Resolvendo , os autovetores são da forma .
Para :
Resolvendo , os autovetores são da forma .
Passo 5
Como temos três autovalores distintos e três autovetores lineares independentes, a matriz P = -2 & -1 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 2 , D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4 é diagonalizável. Agora, vamos montar a matriz com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Resposta
A matriz A = P D P^-1, onde pode ser diagonalizada conforme abaixo: