Seja
uma função e sejam
e
. Prove que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar duas igualdades envolvendo funções e conjuntos. Vamos usar conceitos de image e imagem inversa de funções, que fazem parte da matéria de Teoria dos Conjuntos e Funções. Para isso, vamos precisar entender como as funções agem sobre uniões de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto. Se temos uma função
e um conjunto
, a imagem de
por
é o conjunto de todos os valores que
atribui aos elementos de
. Isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos considerar a união de dois conjuntos
. A imagem dessa união é:
Isso significa que estamos pegando todos os elementos que estão em
ou em
e aplicando
a cada um deles.
Passo 4
Por outro lado, temos a união das imagens individuais:
Ou seja, juntamos todas as imagens de
com todas as imagens de
.
Passo 5
Vamos provar que
. Para isso, precisamos mostrar que cada lado está contido no outro.
Primeiro, mostremos que
.
Seja
. Então existe
tal que
. Isso significa que
está em
ou em
, então
está em
ou em
. Logo,
.
Segundo, mostremos que
.
Seja
. Então
ou
. Se
, existe
tal que
. Como
,
. O mesmo vale se
.
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos provar a segunda igualdade:
.
Primeiro, lembremos o que é o conjunto inverso. Para um conjunto
, o inverso de
por
é:
Passo 7
Vamos analisar
:
Isso significa que estamos procurando todos os
que, ao serem aplicados em
, caem em
ou em
.
Passo 8
Por outro lado, a união dos inversos é:
Ou seja, estamos juntando todos os
que caem em
com todos os
que caem em
.
Passo 9
Vamos provar que
. Assim como antes, mostramos a inclusão em ambos os sentidos.
Primeiro,
.
Seja
. Então
, ou seja,
ou
. Portanto,
ou
, o que implica que
.
Segundo,
.
Seja
. Então
ou
. Isso significa que
ou
, então
. Logo,
.
Resposta
Assim, provamos que: