Seja f: X Y uma função e sejam A, A^prime subset X e B, B^prime subset Y. Prove que:
f(A cup A^prime)=f(A) cup f(A^prime) ; f^-1(B cup B^prime)=f^-1(B) cup f^-1(B^prime)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar duas igualdades envolvendo funções e conjuntos. Vamos usar conceitos de image e imagem inversa de funções, que fazem parte da matéria de Teoria dos Conjuntos e Funções. Para isso, vamos precisar entender como as funções agem sobre uniões de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto. Se temos uma função f(A) = f(a) mid a in A e um conjunto , a imagem de por é o conjunto de todos os valores que atribui aos elementos de . Isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos considerar a união de dois conjuntos f(A cup A') = f(x) mid x in A cup A' . A imagem dessa união é:
Isso significa que estamos pegando todos os elementos que estão em ou em e aplicando a cada um deles.

Passo 4

Por outro lado, temos a união das imagens individuais:
f(A) cup f(A') = f(a) mid a in A cup f(a') mid a' in A'
Ou seja, juntamos todas as imagens de com todas as imagens de .

Passo 5

Vamos provar que . Para isso, precisamos mostrar que cada lado está contido no outro.
Primeiro, mostremos que .
Seja . Então existe tal que . Isso significa que está em ou em , então está em ou em . Logo, .
Segundo, mostremos que .
Seja . Então ou . Se , existe tal que . Como , . O mesmo vale se .
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos provar a segunda igualdade: f^-1(B) = x in X mid f(x) in B .
Primeiro, lembremos o que é o conjunto inverso. Para um conjunto , o inverso de por é:

Passo 7

Vamos analisar f^-1(B cup B') = x in X mid f(x) in B cup B' :
Isso significa que estamos procurando todos os que, ao serem aplicados em , caem em ou em .

Passo 8

Por outro lado, a união dos inversos é:
f^-1(B) cup f^-1(B') = x in X mid f(x) in B cup x in X mid f(x) in B'
Ou seja, estamos juntando todos os que caem em com todos os que caem em .

Passo 9

Vamos provar que . Assim como antes, mostramos a inclusão em ambos os sentidos.
Primeiro, .
Seja . Então , ou seja, ou . Portanto, ou , o que implica que .
Segundo, .
Seja . Então ou . Isso significa que ou , então . Logo, .

Resposta

Assim, provamos que:
f(A cup A') = f(A) cup f(A') e f^-1(B cup B') = f^-1(B) cup f^-1(B')

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