Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique. é um plano no que passa pela origem.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se a afirmação " é um plano no que passa pela origem" é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especialmente sobre como determinar se vetores definem um plano que passa pela origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que dois vetores definem um plano no espaço tridimensional . Dois vetores não nulos no definem um plano se eles forem linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como um múltiplo do outro.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Para isso, assumimos que existe um escalar tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação, encontramos que . Substituindo na segunda equação:
Isso é impossível, o que significa que não existe tal . Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como os vetores são linearmente independentes e passam pela origem (já que os vetores começam no ponto ), o conjunto de todas as combinações lineares deles forma um plano no que passa pela origem. A combinação linear é dada por: