Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
[(1,2,0),(2,3,0)] é um plano no R^3 que passa pela origem.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se a afirmação " [(1,2,0),(2,3,0)] é um plano no R^3 que passa pela origem" é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especialmente sobre como determinar se vetores definem um plano que passa pela origem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que dois vetores definem um plano no espaço tridimensional R^3. Dois vetores não nulos no R^3 definem um plano se eles forem linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como um múltiplo do outro.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores (1,2,0) e (2,3,0) são linearmente independentes. Para isso, assumimos que existe um escalar k tal que:
(2,3,0) = k cdot (1,2,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
2 = k cdot 1 3 = k cdot 2 0 = k cdot 0
Resolvendo a primeira equação, encontramos que k = 2. Substituindo na segunda equação:
3 = 2 cdot 2 Rightarrow 3 = 4
Isso é impossível, o que significa que não existe tal k. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como os vetores são linearmente independentes e passam pela origem (já que os vetores começam no ponto (0,0,0)), o conjunto de todas as combinações lineares deles forma um plano no R^3 que passa pela origem. A combinação linear é dada por:
a cdot (1,2,0) + b cdot (2,3,0) = (a + 2b, 2a + 3b, 0)
Onde a e b são escalares reais.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados