Determine a matriz de passagem da base U para a base V :
(d) U=(1,0,1),(2,0,-2),(1,2,3), V=(1,1,1),(1,2,-1),(-1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a matriz de passagem da base para a base . Isso está relacionado ao conteúdo de Mudança de Base em Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar das coordenadas dos vetores da base expressas na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de passagem. Ela é usada para converter as coordenadas de um vetor em relação a uma base para suas coordenadas em relação a outra base . Para isso, precisamos encontrar como cada vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos listar as bases:
U = 1 0 1, 2 0 -2, 1 2 3
V = 1 1 1, 1 2 -1, -1 1 1

Passo 4

Vamos encontrar a matriz de mudança de base ui = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 . Para isso, precisamos expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, para cada em , encontraremos coeficientes tais que:

Passo 5

Vamos resolver isso para cada vetor de 1 0 1.
Para 1 0 1 = a 1 1 1 + b 1 2 -1 + c -1 1 1 :
1 = a + b - c 0 = a + 2b + c 1 = a - b + c
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos , , .

Passo 6

Para 2 0 -2:
2 0 -2 = a 1 1 1 + b 1 2 -1 + c -1 1 1
Sistema:
2 = a + b - c 0 = a + 2b + c -2 = a - b + c
Resolvendo, obtemos , , .

Passo 7

Para 1 2 3:
1 2 3 = a 1 1 1 + b 1 2 -1 + c -1 1 1
Sistema:
1 = a + b - c 2 = a + 2b + c 3 = a - b + c
Resolvendo, encontramos , , .

Resposta

A matriz de passagem da base PU V = 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 -1 & -2 & 0 para a base é:

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