Determine a matriz, em relação à base canônica, para a composição dos seguintes operadores de
: uma contração por um fator
, seguida de uma rotação no sentido anti-horário de
e depois uma reflexão em relação ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a matriz, na base canônica, que representa a composição de três operadores em
: primeiro uma contração por um fator
, depois uma rotação anti-horária de
e, por fim, uma reflexão em relação ao eixo
. Para isso, vamos precisar saber como representa cada um desses operadores em matriz e depois multiplicá-las na ordem certa.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a contração por um fator
. Contrair um vetor por esse fator significa que cada componente do vetor será multiplicada por
. A matriz dessa transformação na base canônica é simplesmente uma matriz diagonal com
nos elementos da diagonal principal:
Passo 3
Agora, vamos para a rotação anti-horária de
. A matriz de rotação geral para um ângulo
é:
Para
, temos:
Passo 4
Por último, vamos considerar a reflexão em relação ao eixo
. Essa transformação espelha os pontos em relação ao eixo
, o que significa que a coordenada
muda de sinal enquanto
permanece igual. A matriz dessa reflexão é:
Passo 5
Agora que temos as três matrizes, precisamos compô-las na ordem dada: contração, depois rotação e, por fim, reflexão. A composição de transformações é feita multiplicando as matrizes na ordem inversa em que são aplicadas. Então, a matriz final
será:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, multiplicamos
por
:
[
R(45^{\circ}) \cdot C =
\cdot
]
Depois, multiplicamos
por o resultado acima:
[
M = F \cdot
\cdot
]
Resposta
A matriz que representa a composição dos operadores na base canônica é: