Determine a matriz, em relação à base canônica, para a composição dos seguintes operadores de : uma contração por um fator , seguida de uma rotação no sentido anti-horário de e depois uma reflexão em relação ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a matriz, na base canônica, que representa a composição de três operadores em : primeiro uma contração por um fator , depois uma rotação anti-horária de e, por fim, uma reflexão em relação ao eixo . Para isso, vamos precisar saber como representa cada um desses operadores em matriz e depois multiplicá-las na ordem certa.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a contração por um fator . Contrair um vetor por esse fator significa que cada componente do vetor será multiplicada por . A matriz dessa transformação na base canônica é simplesmente uma matriz diagonal com nos elementos da diagonal principal:
Passo 3
Agora, vamos para a rotação anti-horária de . A matriz de rotação geral para um ângulo é:
Para , temos:
Passo 4
Por último, vamos considerar a reflexão em relação ao eixo . Essa transformação espelha os pontos em relação ao eixo , o que significa que a coordenada muda de sinal enquanto permanece igual. A matriz dessa reflexão é:
Passo 5
Agora que temos as três matrizes, precisamos compô-las na ordem dada: contração, depois rotação e, por fim, reflexão. A composição de transformações é feita multiplicando as matrizes na ordem inversa em que são aplicadas. Então, a matriz final será:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, multiplicamos por :
[
R(45^{\circ}) \cdot C =
\cdot
]
Depois, multiplicamos por o resultado acima:
[
M = F \cdot
\cdot
]
Resposta
A matriz que representa a composição dos operadores na base canônica é: