Determine a matriz, em relação à base canônica, para a composição dos seguintes operadores de R^2 : uma contração por um fator k=12, seguida de uma rotação no sentido anti-horário de 45^circ e depois uma reflexão em relação ao eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a matriz, na base canônica, que representa a composição de três operadores em : primeiro uma contração por um fator , depois uma rotação anti-horária de e, por fim, uma reflexão em relação ao eixo . Para isso, vamos precisar saber como representa cada um desses operadores em matriz e depois multiplicá-las na ordem certa.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a contração por um fator C = 12 & 0 0 & 12 . Contrair um vetor por esse fator significa que cada componente do vetor será multiplicada por . A matriz dessa transformação na base canônica é simplesmente uma matriz diagonal com nos elementos da diagonal principal:

Passo 3

Agora, vamos para a rotação anti-horária de R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta . A matriz de rotação geral para um ângulo R(45^circ) = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 é:
Para , temos:

Passo 4

Por último, vamos considerar a reflexão em relação ao eixo F = 1 & 0 0 & -1 . Essa transformação espelha os pontos em relação ao eixo , o que significa que a coordenada muda de sinal enquanto permanece igual. A matriz dessa reflexão é:

Passo 5

Agora que temos as três matrizes, precisamos compô-las na ordem dada: contração, depois rotação e, por fim, reflexão. A composição de transformações é feita multiplicando as matrizes na ordem inversa em que são aplicadas. Então, a matriz final M = F cdot R(45^circ) cdot C será:
R(45^circ) cdot C = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 cdot 12 & 0 0 & 12 = raiz24 & -raiz24 raiz24 & raiz24
Vamos calcular passo a passo:

Primeiro, multiplicamos M = F cdot raiz24 & -raiz24 raiz24 & raiz24 = 1 & 0 0 & -1 cdot raiz24 & -raiz24 raiz24 & raiz24 = raiz24 & -raiz24 -raiz24 & -raiz24 por :
[
R(45^{\circ}) \cdot C =
\cdot


]

Depois, multiplicamos por o resultado acima:
[
M = F \cdot


\cdot


]

Resposta

A matriz que representa a composição dos operadores na base canônica é:
raiz24 & -raiz24 -raiz24 & -raiz24

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