Determine a matriz, em relação à base canônica, para a composição dos seguintes operadores de : uma contração por um fator , seguida de uma rotação no sentido anti-horário de e depois uma reflexão em relação ao eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a matriz, na base canônica, que representa a composição de três operadores em : primeiro uma contração por um fator , depois uma rotação anti-horária de e, por fim, uma reflexão em relação ao eixo . Para isso, vamos precisar saber como representa cada um desses operadores em matriz e depois multiplicá-las na ordem certa.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a contração por um fator . Contrair um vetor por esse fator significa que cada componente do vetor será multiplicada por . A matriz dessa transformação na base canônica é simplesmente uma matriz diagonal com nos elementos da diagonal principal:

Passo 3

Agora, vamos para a rotação anti-horária de . A matriz de rotação geral para um ângulo é:
Para , temos:

Passo 4

Por último, vamos considerar a reflexão em relação ao eixo . Essa transformação espelha os pontos em relação ao eixo , o que significa que a coordenada muda de sinal enquanto permanece igual. A matriz dessa reflexão é:

Passo 5

Agora que temos as três matrizes, precisamos compô-las na ordem dada: contração, depois rotação e, por fim, reflexão. A composição de transformações é feita multiplicando as matrizes na ordem inversa em que são aplicadas. Então, a matriz final será:
Vamos calcular passo a passo:

Primeiro, multiplicamos por :
[
R(45^{\circ}) \cdot C =
\cdot


]

Depois, multiplicamos por o resultado acima:
[
M = F \cdot


\cdot


]

Resposta

A matriz que representa a composição dos operadores na base canônica é:

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b) Que tipo de curva é C.
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(1) está na reta ,
(2) é paralela ao vetor e determine equação vetorial para
(3) encontra somente no ponto .
Resolva três dos ítens abaixo.
Encontre a área do triângulo de vértices e .