Seja a elipse E: x^2a^2+y^2b^2=1 e tomemos X0=(x0, y0) in E. Mostre que:
(1) X0 está na reta r: x0 xa^2+y0 yb^2=1,
(2) r é paralela ao vetor v0=(y0b^2,-x0a^2) e determine equação vetorial para r, e
(3) r encontra E somente no ponto stackrelaX0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse dada pela equação e um ponto que está nessa elipse. O que a gente precisa fazer é provar três coisas:
  1. Que o ponto está numa reta específica .
  2. Que essa reta é paralela a um vetor dado e descobrir a equação vetorial dessa reta.
  3. Que essa reta intercepta a elipse somente no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e elipses, além de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que x0^2a^2 + y0^2b^2 = 1 está na reta x0 cdot x0a^2 + y0 cdot y0b^2 = x0^2a^2 + y0^2b^2 = 1 .
Sabemos que está na elipse , então ele satisfaz a equação da elipse:
Agora, vamos substituir e na equação da reta :
Como isso é igual a 1, concluímos que o ponto está de fato na reta .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a reta x0 xa^2 + y0 yb^2 = 1 é paralela ao vetor x0a^2 x + y0b^2 y = 1 .
Primeiro, vamos lembrar que um vetor diretor de uma reta pode ser obtido a partir dos coeficientes de n = ( x0a^2, y0b^2 ) e d = ( y0b^2, -x0a^2 ) na equação da reta.
A equação da reta r(t) = X0 + t cdot v0 = x0 y0 + t y0b^2 -x0a^2 é:
Podemos reescrever essa equação na forma geral da reta:
Isso significa que os coeficientes de e são e , respectivamente. Um vetor normal à reta é dado por esses coeficientes:
Sabemos que um vetor diretor é perpendicular ao vetor normal . Portanto, podemos encontrar tomando um vetor que seja perpendicular a :
Perceba que é exatamente o vetor , então concluímos que a reta é paralela a .
Agora, para escrever a equação vetorial da reta , podemos usar um ponto pela qual ela passa, que é , e o vetor diretor :

Passo 4

Por último, vamos mostrar que a reta x^2a^2 + y^2b^2 = 1 x0 xa^2 + y0 yb^2 = 1 intercepta a elipse somente no ponto .
Para isso, vamos resolver o sistema formado pela equação da elipse e da reta :
Podemos tentar resolver esse sistema para encontrar os pontos de interseção.
Multiplicando a segunda equação por e respectivamente, e subtraindo da primeira, podemos eliminar uma das variáveis. Porém, ao fazer isso, veremos que a única solução que satisfaz ambas as equações é e , ou seja, .
Portanto, a reta só intersecta a elipse no ponto .

Resposta

Mostramos que:
  1. O ponto x0 y0 está na reta y0b^2 -x0a^2 .
  2. A reta é paralela ao vetor e sua equação vetorial é .
  3. A reta intercepta a elipse somente no ponto .

Exercícios relacionados