Seja
uma curva parametrizada regular dada por
de modo que
a) Determine as possíveis formas de
.
b) Que tipo de curva é C.
b) Que tipo de curva é C.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva
parametrizada por uma função
que satisfaz a equação diferencial
para todo
real. O conteúdo envolve equações diferenciais e parametrização de curvas no plano. Vamos precisar resolver essa equação diferencial para encontrar a forma de
e depois identificar que tipo de curva é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
. Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
é igual a menos duas vezes a primeira derivada de
. Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 3
Consideremos
. Então, a equação diferencial se transforma em
. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é
, onde
é um vetor constante.
Passo 4
Agora, para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é outro vetor constante de integração.
Passo 5
Simplificando, podemos escrever
como:
onde
e
são vetores constantes.
Passo 6
Agora que temos a forma geral de
, vamos para a segunda parte da questão: identificar que tipo de curva é
. A expressão
representa uma combinação linear de uma função exponencial e um vetor constante.
Passo 7
Observamos que, conforme
varia, o termo
tende a zero, fazendo
se aproximar do ponto
. Além disso, a direção do vetor
indica que a curva está se movendo ao longo de uma linha reta que vai de
a
.
Resposta
a) As possíveis formas de
são dadas por
onde
e
são vetores constantes em
.
b) A curva
é uma linha reta.