Seja uma curva parametrizada regular dada por de modo que
a) Determine as possíveis formas de .
b) Que tipo de curva é C.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada por uma função que satisfaz a equação diferencial para todo real. O conteúdo envolve equações diferenciais e parametrização de curvas no plano. Vamos precisar resolver essa equação diferencial para encontrar a forma de e depois identificar que tipo de curva é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada: . Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a menos duas vezes a primeira derivada de . Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 3

Consideremos . Então, a equação diferencial se transforma em . Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é , onde é um vetor constante.

Passo 4

Agora, para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é outro vetor constante de integração.

Passo 5

Simplificando, podemos escrever como:
onde e são vetores constantes.

Passo 6

Agora que temos a forma geral de , vamos para a segunda parte da questão: identificar que tipo de curva é . A expressão representa uma combinação linear de uma função exponencial e um vetor constante.

Passo 7

Observamos que, conforme varia, o termo tende a zero, fazendo se aproximar do ponto . Além disso, a direção do vetor indica que a curva está se movendo ao longo de uma linha reta que vai de a .

Resposta

a) As possíveis formas de são dadas por
onde e são vetores constantes em .
b) A curva é uma linha reta.

Exercícios relacionados

Seja a curva definida por . Determine uma equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .
Seja uma transformação linear de tal que e . é injetora? é sobrejetora? Justifique sua resposta.
Determine a matriz, em relação à base canônica, para a composição dos seguintes operadores de : uma contração por um fator , seguida de uma rotação no sentido anti-horário de e depois uma reflexão em relação ao eixo .
Seja a elipse e tomemos . Mostre que:
(1) está na reta ,
(2) é paralela ao vetor e determine equação vetorial para
(3) encontra somente no ponto .