Seja C uma curva parametrizada regular dada por theta: R R^2 de modo que
theta^prime prime(t)=-2 cdot theta^prime(t) para todo, t in R
a) Determine as possíveis formas de theta.
b) Que tipo de curva é C.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada por uma função que satisfaz a equação diferencial para todo real. O conteúdo envolve equações diferenciais e parametrização de curvas no plano. Vamos precisar resolver essa equação diferencial para encontrar a forma de e depois identificar que tipo de curva é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada: . Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a menos duas vezes a primeira derivada de . Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 3

Consideremos . Então, a equação diferencial se transforma em . Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é , onde é um vetor constante.

Passo 4

Agora, para encontrar theta(t) = integral v(t) , dt = integral C cdot e^-2t , dt = -12 C cdot e^-2t + D , integramos em relação a :
Aqui, é outro vetor constante de integração.

Passo 5

Simplificando, podemos escrever theta(t) = A cdot e^-2t + B como:
onde e são vetores constantes.

Passo 6

Agora que temos a forma geral de , vamos para a segunda parte da questão: identificar que tipo de curva é . A expressão representa uma combinação linear de uma função exponencial e um vetor constante.

Passo 7

Observamos que, conforme varia, o termo tende a zero, fazendo se aproximar do ponto . Além disso, a direção do vetor indica que a curva está se movendo ao longo de uma linha reta que vai de a .

Resposta

a) As possíveis formas de theta(t) = A cdot e^-2t + B são dadas por
onde e são vetores constantes em .
b) A curva é uma linha reta.

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