Seja uma curva parametrizada regular dada por de modo que
a) Determine as possíveis formas de .
b) Que tipo de curva é C.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada por uma função que satisfaz a equação diferencial para todo real. O conteúdo envolve equações diferenciais e parametrização de curvas no plano. Vamos precisar resolver essa equação diferencial para encontrar a forma de e depois identificar que tipo de curva é .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada: . Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a menos duas vezes a primeira derivada de . Vamos resolver essa equação para encontrar .
Passo 3
Consideremos . Então, a equação diferencial se transforma em . Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é , onde é um vetor constante.
Passo 4
Agora, para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é outro vetor constante de integração.
Passo 5
Simplificando, podemos escrever como:
onde e são vetores constantes.
Passo 6
Agora que temos a forma geral de , vamos para a segunda parte da questão: identificar que tipo de curva é . A expressão representa uma combinação linear de uma função exponencial e um vetor constante.
Passo 7
Observamos que, conforme varia, o termo tende a zero, fazendo se aproximar do ponto . Além disso, a direção do vetor indica que a curva está se movendo ao longo de uma linha reta que vai de a .