Seja a curva definida por . Determine uma equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar as equações da reta tangente e da reta normal na curva definida por , no ponto específico . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e parametrização de curvas, pra encontrar essas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar para qual valor de a curva passa pelo ponto . A equação da curva é dada por:
Vamos igualar essas equações aos valores do ponto:
Sabemos que e ocorre quando .
Passo 3
Agora que sabemos que , vamos encontrar a derivada da curva para determinar a inclinação da reta tangente.
A derivada de em relação a é:
Em :
Passo 4
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada , que pode ser encontrada por:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Simplificando:
Portanto, a equação da reta tangente é .
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal, , é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 7
Usando novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal e o ponto dados:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .
Resposta
A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .