Seja C a curva definida por alpha(t)=(4 cos t,-1+4 sen t). Determine uma equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto (2 raiz3, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar as equações da reta tangente e da reta normal na curva definida por , no ponto específico alpha(t) = (4 cos t, -1 + 4 sen t). Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e parametrização de curvas, pra encontrar essas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar para qual valor de t a curva passa pelo ponto (2raiz3, 1). A equação da curva é dada por:
x = 4 cos t
Vamos igualar essas equações aos valores do ponto:
y = -1 + 4 sen t
Sabemos que 2raiz3 = 4 cos t Rightarrow cos t = 2raiz34 = raiz32 e ocorre quando 1 = -1 + 4 sen t Rightarrow sen t = 24 = 12 .

Passo 3

Agora que sabemos que t = pi6, vamos encontrar a derivada da curva alpha(t) para determinar a inclinação da reta tangente.
A derivada de alpha(t) em relação a t é:
alpha'(t) = ( dxdt, dydt )
dxdt = -4 sen t
Em dydt = 4 cos t :
t = pi6

Passo 4

A inclinação da reta tangente é dada pela derivada dydx, que pode ser encontrada por:
dydx = dydtdxdt = 2raiz3-2 = -raiz3
Então, a inclinação da reta tangente é mt = -raiz3.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto (2raiz3, 1), podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m (x - x0)
y - 1 = -raiz3 (x - 2raiz3)
Simplificando:
y = -raiz3 x + 2 cdot 3 + 1
y = -raiz3 x + 7
Portanto, a equação da reta tangente é y = -raiz3 x + 7.

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal, mn, é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
mn = -1mt = -1-raiz3 = 1raiz3 = raiz33

Passo 7

Usando novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal e o ponto dados:
y - 1 = raiz33 (x - 2raiz3)
Simplificando:
y = raiz33 x - 2 cdot 33 + 1
y = raiz33 x - 2 + 1
y = raiz33 x - 1
Então, a equação da reta normal é y = raiz33 x - 1.

Resposta

A equação da reta tangente é y = -raiz3,x + 7 e a equação da reta normal é y = dfracraiz33,x - 1.

Exercícios relacionados