Seja a curva definida por . Determine uma equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar as equações da reta tangente e da reta normal na curva definida por , no ponto específico . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e parametrização de curvas, pra encontrar essas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar para qual valor de a curva passa pelo ponto . A equação da curva é dada por:
Vamos igualar essas equações aos valores do ponto:
Sabemos que e ocorre quando .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos encontrar a derivada da curva para determinar a inclinação da reta tangente.
A derivada de em relação a é:
Em :

Passo 4

A inclinação da reta tangente é dada pela derivada , que pode ser encontrada por:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Simplificando:
Portanto, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal, , é o negativo do inverso da inclinação da tangente:

Passo 7

Usando novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal e o ponto dados:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados

Seja uma transformação linear de tal que e . é injetora? é sobrejetora? Justifique sua resposta.
Seja uma transformação linear de tal que e . Encontre uma expressão para ;
Seja uma curva parametrizada regular dada por de modo que
a) Determine as possíveis formas de .
b) Que tipo de curva é C.
Determine a matriz, em relação à base canônica, para a composição dos seguintes operadores de : uma contração por um fator , seguida de uma rotação no sentido anti-horário de e depois uma reflexão em relação ao eixo .