Seja a curva definida por . Determine uma equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar as equações da reta tangente e da reta normal na curva definida por , no ponto específico . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e parametrização de curvas, pra encontrar essas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar para qual valor de a curva passa pelo ponto . A equação da curva é dada por:
Vamos igualar essas equações aos valores do ponto:
Sabemos que e ocorre quando .
Passo 3
Agora que sabemos que , vamos encontrar a derivada da curva para determinar a inclinação da reta tangente.
A derivada de em relação a é:
Em :
Passo 4
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada dydx, que pode ser encontrada por:
dydx = dydtdxdt = 2raiz3-2 = -raiz3
Então, a inclinação da reta tangente é mt = -raiz3.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto (2raiz3, 1), podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m (x - x0)
y - 1 = -raiz3 (x - 2raiz3)
Simplificando:
y = -raiz3 x + 2 cdot 3 + 1
y = -raiz3 x + 7
Portanto, a equação da reta tangente é y = -raiz3 x + 7.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal, mn, é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
mn = -1mt = -1-raiz3 = 1raiz3 = raiz33
Passo 7
Usando novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal e o ponto dados:
y - 1 = raiz33 (x - 2raiz3)
Simplificando:
y = raiz33 x - 2 cdot 33 + 1
y = raiz33 x - 2 + 1
y = raiz33 x - 1
Então, a equação da reta normal é y = raiz33 x - 1.
Resposta
A equação da reta tangente é y = -raiz3,x + 7 e a equação da reta normal é y = dfracraiz33,x - 1.