Resolva três dos ítens abaixo.
Encontre a área do triângulo de vértices P=(3,-2,2), Q=((-2,5,-4) e R=(4,2,4).

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a área de um triângulo cujos vértices são os pontos , e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o uso de vetores e produtos vetoriais para calcular áreas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar calcular vetores a partir dos pontos dados, utilizar o produto vetorial e depois determinar a magnitude desse produto para encontrar a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo a partir do ponto PQ = Q - P = (-2 - 3, 5 - (-2), -4 - 2) = (-5, 7, -6) . Calculamos os vetores PR = R - P = (4 - 3, 2 - (-2), 4 - 2) = (1, 4, 2) e da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores PQ times PR = i & j & k -5 & 7 & -6 1 & 4 & 2 e PQ times PR = i(7 cdot 2 - (-6) cdot 4) - j(-5 cdot 2 - (-6) cdot 1) + k(-5 cdot 4 - 7 cdot 1) . O produto vetorial = i(14 + 24) - j(-10 + 6) + k(-20 - 7) é dado por:
= 38,i + 4,j - 27,k
Calculando o determinante:
Então, o vetor resultante é .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante, que nos dará o dobro da área do triângulo. A magnitude é calculada usando a fórmula:
| PQ times PR | = raiz38^2 + 4^2 + (-27)^2 = raiz1444 + 16 + 729 = raiz2189 approx 46.78

Passo 5

Finalmente, para encontrar a área do triângulo, dividimos a magnitude do produto vetorial por 2:
Área = 12 times | PQ times PR | approx 12 times 46.78 approx 23.39 Á

Resposta

A área do triângulo com vértices em , e é aproximadamente unidades de área.

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