Determine quais matrizes a seguir são ortogonais ( e são reais):
(i) .
(ii) Rphi=(ccccos phi & sin phi & 0 -sin phi & cos phi & 0 0 & 0 & 1).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quais das duas matrizes dadas são ortogonais. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Para resolver, vamos lembrar que uma matriz é ortogonal se o seu produto com a sua transposta resulta na matriz identidade. Então, vamos precisar calcular as transpostas das matrizes e verificar se multiplicando cada uma por sua transposta dá a identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que os vetores das colunas da matriz são perpendiculares entre si e de norma 1.
Passo 3
Vamos começar analisando a primeira matriz Rtheta = cos theta & 0 & -sin theta 0 & 1 & 0 sin theta & 0 & cos theta :
Rtheta^T = cos theta & 0 & sin theta 0 & 1 & 0 -sin theta & 0 & cos theta
Primeiro, calculamos a transposta de , que é:
Passo 4
Agora, multiplicamos Rtheta cdot Rtheta^T = cos theta & 0 & -sin theta 0 & 1 & 0 sin theta & 0 & cos theta cdot cos theta & 0 & sin theta 0 & 1 & 0 -sin theta & 0 & cos theta pela sua transposta: