Determine quais matrizes a seguir são ortogonais ( theta e phi são reais):
(i) Rtheta=(ccccos theta & 0 & -sin theta 0 & 1 & 0 sin theta & 0 & cos theta).
(ii) Rphi=(ccccos phi & sin phi & 0 -sin phi & cos phi & 0 0 & 0 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quais das duas matrizes dadas são ortogonais. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Para resolver, vamos lembrar que uma matriz é ortogonal se o seu produto com a sua transposta resulta na matriz identidade. Então, vamos precisar calcular as transpostas das matrizes e verificar se multiplicando cada uma por sua transposta dá a identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que os vetores das colunas da matriz são perpendiculares entre si e de norma 1.

Passo 3

Vamos começar analisando a primeira matriz Rtheta = cos theta & 0 & -sin theta 0 & 1 & 0 sin theta & 0 & cos theta :
Rtheta^T = cos theta & 0 & sin theta 0 & 1 & 0 -sin theta & 0 & cos theta
Primeiro, calculamos a transposta de , que é:

Passo 4

Agora, multiplicamos Rtheta cdot Rtheta^T = cos theta & 0 & -sin theta 0 & 1 & 0 sin theta & 0 & cos theta cdot cos theta & 0 & sin theta 0 & 1 & 0 -sin theta & 0 & cos theta pela sua transposta:
Rtheta cdot Rtheta^T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Vamos calcular cada elemento dessa multiplicação:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Então, temos:
Isso mostra que é uma matriz ortogonal.

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda matriz Rphi = cos phi & sin phi & 0 -sin phi & cos phi & 0 0 & 0 & 1 :
Rphi^T = cos phi & -sin phi & 0 sin phi & cos phi & 0 0 & 0 & 1
Novamente, calculamos a transposta de :

Passo 6

Multiplicamos Rphi cdot Rphi^T = cos phi & sin phi & 0 -sin phi & cos phi & 0 0 & 0 & 1 cdot cos phi & -sin phi & 0 sin phi & cos phi & 0 0 & 0 & 1 pela sua transposta:
Rphi cdot Rphi^T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Vamos calcular cada elemento dessa multiplicação:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Assim, temos:
Isso confirma que também é uma matriz ortogonal.

Resposta

Ambas as matrizes e são ortogonais.

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