Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada abaixo e, se possível, diagonalizá-la:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, equações características e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a seguinte equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de mesma ordem que . Substituindo os valores:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo os termos:
Portanto, a equação característica fica:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta no sistema de equações:
Ambas as equações simplificam para:
Escolhendo , temos o autovetor:
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta no sistema de equações:
Simplificando:
Escolhendo , temos o autovetor:
Passo 4
Para diagonalizar a matriz , precisamos verificar se os autovetores encontrados são linearmente independentes e formam uma base do espaço. Como temos dois autovetores distintos para uma matriz 2x2, eles são automaticamente linearmente independentes.
Podemos então construir a matriz com os autovetores como colunas:
A matriz será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Assim, a diagonalização da matriz é dada por:
Resposta
Os autovalores da matriz são e . Correspondente a , o autovetor é e para , o autovetor é . A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma: