Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada abaixo e, se possível, diagonalizá-la:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, equações características e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a seguinte equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade de mesma ordem que
. Substituindo os valores:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo os termos:
Portanto, a equação característica fica:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Substituímos
na equação
:
Isso resulta no sistema de equações:
Ambas as equações simplificam para:
Escolhendo
, temos o autovetor:
Para
:
Substituímos
na equação
:
Isso resulta no sistema de equações:
Simplificando:
Escolhendo
, temos o autovetor:
Passo 4
Para diagonalizar a matriz
, precisamos verificar se os autovetores encontrados são linearmente independentes e formam uma base do espaço. Como temos dois autovetores distintos para uma matriz 2x2, eles são automaticamente linearmente independentes.
Podemos então construir a matriz
com os autovetores como colunas:
A matriz
será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Assim, a diagonalização da matriz
é dada por:
Resposta
Os autovalores da matriz são
e
. Correspondente a
, o autovetor é
e para
, o autovetor é
. A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma: