Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada abaixo e, se possível, diagonalizá-la:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, equações características e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a seguinte equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de mesma ordem que . Substituindo os valores:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo os termos:
Portanto, a equação característica fica:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta no sistema de equações:
Ambas as equações simplificam para:
Escolhendo , temos o autovetor:
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta no sistema de equações:
Simplificando:
Escolhendo , temos o autovetor:

Passo 4

Para diagonalizar a matriz , precisamos verificar se os autovetores encontrados são linearmente independentes e formam uma base do espaço. Como temos dois autovetores distintos para uma matriz 2x2, eles são automaticamente linearmente independentes.
Podemos então construir a matriz com os autovetores como colunas:
A matriz será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Assim, a diagonalização da matriz é dada por:

Resposta

Os autovalores da matriz são e . Correspondente a , o autovetor é e para , o autovetor é . A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma:

Exercícios relacionados

Determine quais matrizes a seguir são ortogonais ( e são reais):
(i) .
(ii) .
Qual das matrizes abaixo é combinação linear de ,
a)
b)
c)
d)
e)
Resolva os sistemas a seguir.
(j)
Em cada item abaixo escreva como combinação linear de e :
e