Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
(a) (ll1 & 4 2 & 3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada abaixo e, se possível, diagonalizá-la:
A = 1 & 4 2 & 3
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, equações características e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de A - lambda I = 1 - lambda & 4 2 & 3 - lambda que satisfazem a seguinte equação característica:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(3 - lambda) - (4 times 2) = (1 - lambda)(3 - lambda) - 8
Aqui, (1 - lambda)(3 - lambda) = 3 - lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 4lambda + 3 é a matriz identidade de mesma ordem que lambda^2 - 4lambda + 3 - 8 = lambda^2 - 4lambda - 5 = 0 . Substituindo os valores:
lambda = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 times 1 times (-5)2 times 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
lambda1 = 4 + 62 = 5 e lambda2 = 4 - 62 = -1
Expandindo os termos:
Portanto, a equação característica fica:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 1 - 5 & 4 2 & 3 - 5 x y = -4 & 4 2 & -2 x y = 0 0 :
Substituímos -4x + 4y = 0 2x - 2y = 0 na equação x = y :
v1 = 1 1
Isso resulta no sistema de equações:
1 - (-1) & 4 2 & 3 - (-1) x y = 2 & 4 2 & 4 x y = 0 0
Ambas as equações simplificam para:
2x + 4y = 0 2x + 4y = 0
Escolhendo x = -2y , temos o autovetor:
v2 = -2 1
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta no sistema de equações:
Simplificando:
Escolhendo , temos o autovetor:

Passo 4

Para diagonalizar a matriz P = 1 & -2 1 & 1 , precisamos verificar se os autovetores encontrados são linearmente independentes e formam uma base do espaço. Como temos dois autovetores distintos para uma matriz 2x2, eles são automaticamente linearmente independentes.
Podemos então construir a matriz D = 5 & 0 0 & -1 com os autovetores como colunas:
A = P D P^-1
A matriz será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Assim, a diagonalização da matriz é dada por:

Resposta

Os autovalores da matriz são 1 1 e -2 1. Correspondente a P = 1 & -2 1 & 1, D = 5 & 0 0 & -1, onde A = P D P^-1 , o autovetor é e para , o autovetor é . A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma:

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