Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar algumas propriedades da matriz . A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, singular, estritamente diagonal dominante e definida positiva. Vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta. A transposta de , que a gente denota por , é feita trocando as linhas pelas colunas.
Então, a transposta de é:
Como , a matriz é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos descobrir se a matriz é singular. Isso quer dizer que o determinante dela é zero. Calculando o determinante de :
Como o determinante é 5, que não é zero, a matriz não é singular.
Passo 4
Vamos verificar se a matriz é estritamente diagonal dominante. Isso acontece quando, em cada linha, o valor absoluto do elemento da diagonal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Como isso é verdadeiro para todas as linhas, a matriz é estritamente diagonal dominante.
Passo 5
Por último, vamos ver se a matriz é definida positiva. Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores são positivos. Para matrizes 2x2, podemos usar os critérios:
O elemento
O determinante
Já vimos que e . Portanto, a matriz é definida positiva.