Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar algumas propriedades da matriz . A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, singular, estritamente diagonal dominante e definida positiva. Vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta. A transposta de , que a gente denota por , é feita trocando as linhas pelas colunas.
Então, a transposta de é:
Como , a matriz é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos descobrir se a matriz é singular. Isso quer dizer que o determinante dela é zero. Calculando o determinante de :
Como o determinante é 5, que não é zero, a matriz não é singular.

Passo 4

Vamos verificar se a matriz é estritamente diagonal dominante. Isso acontece quando, em cada linha, o valor absoluto do elemento da diagonal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Como isso é verdadeiro para todas as linhas, a matriz é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Por último, vamos ver se a matriz é definida positiva. Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores são positivos. Para matrizes 2x2, podemos usar os critérios:
  1. O elemento
  2. O determinante
Já vimos que e . Portanto, a matriz é definida positiva.

Resposta

A matriz é:
  1. Simétrica
  2. Não singular
  3. Estritamente diagonal dominante
  4. Definida positiva

Exercícios relacionados

Encontre a equação reduzida da hipérbole que tem focos no eixo , com a origem sendo o ponto médio do segmento , comprimento do segmento focal de 34 u.c. e comprimento do eixo conjugado de 32 u.c.
Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.