Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.
A=[ll2 & 1 1 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar algumas propriedades da matriz 2 & 1 1 & 3 . A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, singular, estritamente diagonal dominante e definida positiva. Vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta. A transposta de A^T = 2 & 1 1 & 3 , que a gente denota por , é feita trocando as linhas pelas colunas.
Então, a transposta de é:
Como , a matriz é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos descobrir se a matriz é singular. Isso quer dizer que o determinante dela é zero. Calculando o determinante de det(A) = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5 :
Como o determinante é 5, que não é zero, a matriz não é singular.

Passo 4

Vamos verificar se a matriz é estritamente diagonal dominante. Isso acontece quando, em cada linha, o valor absoluto do elemento da diagonal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Para a primeira linha:
|2| > |1| implies 2 > 1 (Verdadeiro)
Para a segunda linha:
|3| > |1| implies 3 > 1 (Verdadeiro)
Como isso é verdadeiro para todas as linhas, a matriz é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Por último, vamos ver se a matriz é definida positiva. Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores são positivos. Para matrizes 2x2, podemos usar os critérios:
  1. O elemento
  2. O determinante
Já vimos que e . Portanto, a matriz é definida positiva.

Resposta

A matriz 2 & 1 1 & 3 é:
  1. Simétrica
  2. Não singular
  3. Estritamente diagonal dominante
  4. Definida positiva

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