Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
Esse método vai nos ajudar a transformar essas equações em uma forma mais simples, onde podemos encontrar os valores de
,
e
facilmente. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das variáveis e os resultados:
Queremos transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal os números sejam zeros.
Passo 3
Vamos começar eliminando o
x1 - 2x2 + x3 = 7 3x2 + 2x3 = 3 4x2 - x3 = -7 das segunda e terceira equações. Para isso, vamos fazer o seguinte:
-
Equação 2:Subtraímos 2 vezes a Equação 1 da Equação 2:Simplificando:
-
Equação 3:Subtraímos 3 vezes a Equação 1 da Equação 3:Simplificando:
Agora, nosso sistema fica assim:
Passo 4
Agora, vamos eliminar uma variável das Equações 2 e 3 dessa nova matriz. Vamos eliminar o
3x2 + 2x3 = 3 8x2 - 2x3 = -14 .
Primeiro, vamos multiplicar a Equação 2 por 1 e a Equação 3 por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos para
x2 = -1111 = -1 :
Com o valor de
-3 + 2x3 = 3 2x3 = 6 x3 = 3 encontrado, vamos substituir de volta nas Equações 2 ou 3 para encontrar
. Vamos na Equação 2:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos
x1 - 2(-1) + 3 = 7 e
x1 + 2 + 3 = 7 x1 + 5 = 7 x1 = 2 , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
A solução do sistema é: