Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
Esse método vai nos ajudar a transformar essas equações em uma forma mais simples, onde podemos encontrar os valores de , e facilmente. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das variáveis e os resultados:
Queremos transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal os números sejam zeros.
Passo 3
Vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações. Para isso, vamos fazer o seguinte:
Equação 2:
Subtraímos 2 vezes a Equação 1 da Equação 2:
Simplificando:
Equação 3:
Subtraímos 3 vezes a Equação 1 da Equação 3:
Simplificando:
Agora, nosso sistema fica assim:
Passo 4
Agora, vamos eliminar uma variável das Equações 2 e 3 dessa nova matriz. Vamos eliminar o .
Primeiro, vamos multiplicar a Equação 2 por 1 e a Equação 3 por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos para :
Com o valor de encontrado, vamos substituir de volta nas Equações 2 ou 3 para encontrar . Vamos na Equação 2:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos e , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar :