Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
(a) x1-2 x2+x3 & =7 2 x1-x2+4 x3 & =17 3 x1-2 x2+2 x3 & =14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
x1 - 2x2 + x3 = 7 2x1 - x2 + 4x3 = 17 3x1 - 2x2 + 2x3 = 14
Esse método vai nos ajudar a transformar essas equações em uma forma mais simples, onde podemos encontrar os valores de , e facilmente. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das variáveis e os resultados:
1 & -2 & 1 & | & 7 2 & -1 & 4 & | & 17 3 & -2 & 2 & | & 14
Queremos transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal os números sejam zeros.

Passo 3

Vamos começar eliminando o x1 - 2x2 + x3 = 7 3x2 + 2x3 = 3 4x2 - x3 = -7 das segunda e terceira equações. Para isso, vamos fazer o seguinte:
  • Equação 2:
    Subtraímos 2 vezes a Equação 1 da Equação 2:
    Simplificando:
  • Equação 3:
    Subtraímos 3 vezes a Equação 1 da Equação 3:
    Simplificando:
Agora, nosso sistema fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar uma variável das Equações 2 e 3 dessa nova matriz. Vamos eliminar o 3x2 + 2x3 = 3 8x2 - 2x3 = -14 .
Primeiro, vamos multiplicar a Equação 2 por 1 e a Equação 3 por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos para x2 = -1111 = -1 :
3(-1) + 2x3 = 3
Com o valor de -3 + 2x3 = 3 2x3 = 6 x3 = 3 encontrado, vamos substituir de volta nas Equações 2 ou 3 para encontrar . Vamos na Equação 2:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos x1 - 2(-1) + 3 = 7 e x1 + 2 + 3 = 7 x1 + 5 = 7 x1 = 2 , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar :
Simplificando:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 2, x2 = -1, x3 = 3

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