Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
(f) ry+z=3 x-y+2 z=1 2 x+y-z=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três variáveis: , e . O conteúdo que vamos usar é o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a resolver sistemas lineares transformando as equações para simplificar e encontrar os valores das incógnitas. Precisamos reorganizar o sistema para eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que facilita a visualização do processo de eliminação:
& y & z & | & 3 x & -1 & 2 & | & 1 2x & 1 & -1 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma das equações do sistema.

Passo 3

O próximo passo é eliminar uma variável de duas das equações. Vamos começar eliminando . Observando a segunda equação, o coeficiente de é 1, o que facilita a eliminação.

Passo 4

Vamos eliminar 2(x - y + 2z) = 2(1) Rightarrow 2x - 2y + 4z = 2 da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda equação por 2 e subtraímos da terceira equação:
(2x + y - z) - (2x - 2y + 4z) = 0 - 2 0x + 3y - 5z = -2
Subtraindo essa nova equação da terceira equação original:
y + z = 3 x - y + 2z = 1 3y - 5z = -2
Agora, o sistema fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar nas duas equações que envolvem y + z = 3 3y - 5z = -2 e y = 3 - z :
Podemos usar a primeira equação para expressar em termos de :

Passo 6

Substituímos 3(3 - z) - 5z = -2 9 - 3z - 5z = -2 9 - 8z = -2 -8z = -11 z = 118 na segunda equação:

Passo 7

Com y = 3 - 118 = 248 - 118 = 138 , voltamos à expressão para :

Passo 8

Agora que temos x - 138 + 2(118) = 1 x - 138 + 228 = 1 x + 98 = 1 x = 1 - 98 = -18 e , usamos a segunda equação original para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -18, y = 138, z = 118

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