Encontre a equação reduzida da hipérbole que tem focos F1, F2 no eixo O y, com a origem O sendo o ponto médio do segmento F1 F2, comprimento do segmento focal de 34 u.c. e comprimento do eixo conjugado de 32 u.c.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação reduzida de uma hipérbole. Sabemos que os focos estão no eixo , a origem é o ponto médio entre os focos e , o comprimento do segmento focal é 34 unidades de comprimento (u.c.), e o comprimento do eixo conjugado é 32 u.c. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades básicas das hipérboles, especialmente as relações entre os eixos e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a distância entre os focos. Como o comprimento do segmento focal é 34 u.c., isso significa que a distância entre e é 34 u.c.

Passo 3

Sabemos que em uma hipérbole, a distância do centro aos focos é representada por c = distância entre os focos2 = 342 = 17 , uc . Como a origem é o ponto médio entre e , temos que:
â

Passo 4

O comprimento do eixo conjugado é dado como 32 u.c. O eixo conjugado está relacionado ao valor comprimento do eixo conjugado = 2b Rightarrow b = 322 = 16 , uc na equação da hipérbole, onde:

Passo 5

Nas hipérboles, existe uma relação entre c^2 = a^2 + b^2 , e :
Isso nos ajuda a encontrar o valor de .

Passo 6

Vamos substituir os valores que já temos nessa relação para encontrar 17^2 = a^2 + 16^2 289 = a^2 + 256 a^2 = 289 - 256 a^2 = 33 a = raiz33 :

Passo 7

Agora que temos os valores de y^2a^2 - x^2b^2 = 1 e y^233 - x^2256 = 1 , podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. Como os focos estão no eixo , a hipérbole é vertical, e a equação geral nesse caso é:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
y^233 - x^2256 = 1

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