Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e queremos descobrir se ela é:
  1. Simétrica: se ela é igual à sua transposta.
  2. Singular: se ela não tem inversa, ou seja, se o determinante é zero.
  3. Estritamente diagonal dominante: se, em cada linha, o valor na diagonal é maior que a soma dos outros valores absolutos da linha.
  4. Definida positiva: se todas as suas formas quadráticas são positivas, ou seja, se todos os seus autovalores são positivos.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como calcular a transposta, o determinante, verificar a dominância diagonal e entender um pouco sobre autovalores ou determinantes principais.

Passo 2

Verificando se é simétrica
Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, se .
Vamos calcular a transposta de :
Agora, comparamos e :
Podemos ver que n��o é igual a porque, por exemplo, o elemento é diferente de .
Então, NÃO é simétrica.

Passo 3

Verificando se é singular
Uma matriz é singular se o seu determinante for zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando os menores:
Então:
Como o determinante é 24, que é diferente de zero, NÃO é singular.

Passo 4

Verificando se é estritamente diagonal dominante
Uma matriz é estritamente diagonal dominante se, em cada linha, o valor absoluto do elemento na diagonal for maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Vamos verificar linha por linha:
  • Linha 1: ��� Verdadeiro
  • Linha 2: Verdadeiro
  • Linha 3: Verdadeiro
Todas as linhas satisfazem a condição, então é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Verificando se é definida positiva
Para uma matriz simétrica, uma forma de verificar se ela é definida positiva é checar se todos os seus autovalores são positivos. No entanto, como não é simétrica, essa definição não se aplica diretamente.
Outra abordagem é verificar os determinantes dos menores principais:
  1. Menor de ordem 1:
  2. Menor de ordem 2:
  1. Menor de ordem 3: Já calculamos
Mesmo que a matriz não seja simétrica, os determinantes dos menores principais são positivos, indicando que é definida positiva.

Resposta

A matriz é:
  • Não simétrica
  • Não singular
  • Estritamente diagonal dominante
  • Definida positiva

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