Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e queremos descobrir se ela é:
Simétrica: se ela é igual à sua transposta.
Singular: se ela não tem inversa, ou seja, se o determinante é zero.
Estritamente diagonal dominante: se, em cada linha, o valor na diagonal é maior que a soma dos outros valores absolutos da linha.
Definida positiva: se todas as suas formas quadráticas são positivas, ou seja, se todos os seus autovalores são positivos.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como calcular a transposta, o determinante, verificar a dominância diagonal e entender um pouco sobre autovalores ou determinantes principais.
Passo 2
Verificando se é simétrica
Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, se .
Vamos calcular a transposta de :
Agora, comparamos e :
Podemos ver que n��o é igual a porque, por exemplo, o elemento é diferente de .
Então, NÃO é simétrica.
Passo 3
Verificando se é singular
Uma matriz é singular se o seu determinante for zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando os menores:
Então:
Como o determinante é 24, que é diferente de zero, NÃO é singular.
Passo 4
Verificando se é estritamente diagonal dominante
Uma matriz é estritamente diagonal dominante se, em cada linha, o valor absoluto do elemento na diagonal for maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Vamos verificar linha por linha:
Linha 1: → ��� Verdadeiro
Linha 2: → → Verdadeiro
Linha 3: → → Verdadeiro
Todas as linhas satisfazem a condição, então é estritamente diagonal dominante.
Passo 5
Verificando se é definida positiva
Para uma matriz simétrica, uma forma de verificar se ela é definida positiva é checar se todos os seus autovalores são positivos. No entanto, como não é simétrica, essa definição não se aplica diretamente.
Outra abordagem é verificar os determinantes dos menores principais:
Menor de ordem 1:
Menor de ordem 2:
Menor de ordem 3: Já calculamos
Mesmo que a matriz não seja simétrica, os determinantes dos menores principais são positivos, indicando que é definida positiva.