Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
(g) x+y+z & =1 2 x+2 z & =3 x-y+z & =-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Estamos lidando com sistemas lineares, que é uma parte da álgebra linear. Para resolver, vamos precisar reorganizar as equações de maneira que possamos eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial aumentada. Isso facilita a visualização e o processo de eliminação. Nosso sistema é:
x + y + z = 1 2x + 0y + 2z = 3 x - y + z = -1
A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & | & 1 2 & 0 & 2 & | & 3 1 & -1 & 1 & | & -1

Passo 3

O próximo passo é eliminar o termo de 2 times (x + y + z) = 2 times 1 Rightarrow 2x + 2y + 2z = 2 das equações abaixo da primeira. Para isso, podemos substituir a segunda e a terceira equação de forma a eliminar (2x + 0y + 2z) - (2x + 2y + 2z) = 3 - 2 Rightarrow -2y = 1 Rightarrow y = -12 .
Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair da segunda:
1 times (x + y + z) = 1 times 1 Rightarrow x + y + z = 1
(x - y + z) - (x + y + z) = -1 - 1 Rightarrow -2y = -2 Rightarrow y = 1
Agora, vamos eliminar da terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 1 e subtraímos da terceira:
No entanto, notamos que temos uma inconsistência aqui, isso indica que precisamos revisar nossos passos.

Passo 4

Vamos corrigir a eliminação. Retornando à matriz aumentada:
1 & 1 & 1 & | & 1 2 & 0 & 2 & | & 3 1 & -1 & 1 & | & -1
Para eliminar 2x + 0y + 2z - 2(x + y + z) = 3 - 2(1) da segunda equação, subtraímos 2 vezes a primeira equação da segunda:
2x + 0y + 2z - 2x - 2y - 2z = 3 - 2
-2y = 1 Rightarrow y = -12
x - y + z - (x + y + z) = -1 - 1
Agora, eliminamos x - y + z - x - y - z = -2 da terceira equação subtraindo a primeira equação da terceira:
-2y = -2 Rightarrow y = 1
Aqui vemos uma inconsistência nos valores de . Isso sugere que o sistema não tem solução única ou que houve um erro no método.

Passo 5

Vamos verificar novamente as equações originais:
x + y + z = 1 2x + 2z = 3 x - y + z = -1
Observamos que a segunda equação não possui o termo 2x + 2z = 3 Rightarrow x = 3 - 2z2 . Podemos expressar 3 - 2z2 + y + z = 1 Rightarrow y + 32 - z + z = 1 Rightarrow y = -12 em termos de 3 - 2z2 - y + z = -1 Rightarrow 32 - z - y + z = -1 Rightarrow y = 52 a partir da segunda equação:
Substituímos na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
Novamente, temos e , o que é impossível.

Resposta

O sistema não possui solução, ou seja, é inconsistente.

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