Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa descobrir quatro coisas sobre ela: se é simétrica, se é singular, se é estritamente diagonal dominante e se é definida positiva. Para isso, vamos revisar alguns conceitos básicos de matrizes e aplicar passo a passo para cada item.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz C = 4 & 2 & 6 3 & 0 & 7 -2 & -1 & -3 é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, se C^T = 4 & 3 & -2 2 & 0 & -1 6 & 7 & -3 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Matriz :
Transposta de :
Comparando e , vemos que elas não são iguais porque, por exemplo, o elemento é diferente de . Portanto, não é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz det(C) = 4 cdot (0 cdot (-3) - 7 cdot (-1)) - 2 cdot (3 cdot (-3) - 7 cdot (-2)) + 6 cdot (3 cdot (-1) - 0 cdot (-2)) é singular. Uma matriz é singular se o seu determinante for zero; caso contrário, ela é não singular.
Vamos verificar se a matriz |4| > |2| + |6| Rightarrow 4 > 8 (Falso) é estritamente diagonal dominante. Uma matriz é estritamente diagonal dominante se, em cada linha, o valor absoluto do elemento diagonal for maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Analisando cada linha de |0| > |3| + |7| Rightarrow 0 > 10 (Falso) :
Primeira linha:
|-3| > |-2| + |-1| Rightarrow 3 > 3 (Falso)
Segunda linha:
Terceira linha:
Nenhuma das linhas satisfaz a condição, então a matriz não é estritamente diagonal dominante.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se a matriz é definida positiva. Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores forem positivos. Porém, como já vimos que não é simétrica, ela não pode ser definida positiva.
Resposta
A matriz não é simétrica, é singular, não é estritamente diagonal dominante e não é definida positiva.