Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa descobrir quatro coisas sobre ela: se é simétrica, se é singular, se é estritamente diagonal dominante e se é definida positiva. Para isso, vamos revisar alguns conceitos básicos de matrizes e aplicar passo a passo para cada item.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, se . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Matriz :
Transposta de :
Comparando e , vemos que elas não são iguais porque, por exemplo, o elemento é diferente de . Portanto, não é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz é singular. Uma matriz é singular se o seu determinante for zero; caso contrário, ela é não singular.
Calculando o determinante de :
Como o determinante é zero, a matriz é singular.
Passo 4
Vamos verificar se a matriz é estritamente diagonal dominante. Uma matriz é estritamente diagonal dominante se, em cada linha, o valor absoluto do elemento diagonal for maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Analisando cada linha de :
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Nenhuma das linhas satisfaz a condição, então a matriz não é estritamente diagonal dominante.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se a matriz é definida positiva. Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores forem positivos. Porém, como já vimos que não é simétrica, ela não pode ser definida positiva.
Resposta
A matriz não é simétrica, é singular, não é estritamente diagonal dominante e não é definida positiva.