Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(e) (rrr5 & -9 & 3 0 & 3 & 4 1 & 0 & 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a matriz dada é inversível e, se for, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes. Primeiro, vamos verificar o determinante da matriz, porque se ele for diferente de zero, a matriz é inversível. Se der certo, a gente vai calcular a inversa usando a fórmula da matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. A matriz que temos é:
5 & -9 & 3 0 & 3 & 4 1 & 0 & 3
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, etc., são os elementos da matriz. Aplicando isso:
det(A) = 5(3 cdot 3 - 4 cdot 0) - (-9)(0 cdot 3 - 4 cdot 1) + 3(0 cdot 0 - 3 cdot 1)
det(A) = 5(9 - 0) - (-9)(0 - 4) + 3(0 - 3)
det(A) = 5 cdot 9 + 9 cdot 4 + 3 cdot (-3)
det(A) = 45 + 36 - 9 = 72
Como o determinante é 72, que é diferente de zero, a matriz é inversível!

Passo 3

Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a inversa. Vamos usar a fórmula da matriz adjunta:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de cofatores. Vamos calcular cada cofator:
Para o elemento (1,1):
C11 = 3 & 4 0 & 3 = 3 cdot 3 - 4 cdot 0 = 9
Para o elemento (1,2):
C12 = - 0 & 4 1 & 3 = -(0 cdot 3 - 4 cdot 1) = 4
Para o elemento (1,3):
C13 = 0 & 3 1 & 0 = 0 cdot 0 - 3 cdot 1 = -3
Para o elemento (2,1):
C21 = - -9 & 3 0 & 3 = -(-9 cdot 3 - 3 cdot 0) = 27
Para o elemento (2,2):
C22 = 5 & 3 1 & 3 = 5 cdot 3 - 3 cdot 1 = 12
Para o elemento (2,3):
C23 = - 5 & -9 1 & 0 = -(5 cdot 0 - (-9) cdot 1) = 9
Para o elemento (3,1):
C31 = -9 & 3 3 & 4 = -9 cdot 4 - 3 cdot 3 = -45
Para o elemento (3,2):
C32 = - 5 & 3 0 & 4 = -(5 cdot 4 - 3 cdot 0) = -20
Para o elemento (3,3):
C33 = 5 & -9 0 & 3 = 5 cdot 3 - (-9) cdot 0 = 15
Agora, montamos a matriz de cofatores:
Cof(A) = 9 & 4 & -3 27 & 12 & 9 -45 & -20 & 15
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
adj(A) = 9 & 27 & -45 4 & 12 & -20 -3 & 9 & 15
Finalmente, multiplicamos a adjunta pelo inverso do determinante:
A^-1 = 172 cdot 9 & 27 & -45 4 & 12 & -20 -3 & 9 & 15 = 972 & 2772 & -4572 472 & 1272 & -2072 -372 & 972 & 1572
Simplificando as frações:
A^-1 = 18 & 38 & -58 118 & 16 & -518 -124 & 18 & 524

Resposta

A matriz é inversível e a sua inversa é:
A^-1 = 18 & 38 & -58 118 & 16 & -518 -124 & 18 & 524

Exercícios relacionados