Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a matriz dada é inversível e, se for, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes. Primeiro, vamos verificar o determinante da matriz, porque se ele for diferente de zero, a matriz é inversível. Se der certo, a gente vai calcular a inversa usando a fórmula da matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. A matriz que temos é:
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado assim:
Onde a, b, c, etc., são os elementos da matriz. Aplicando isso:
Como o determinante é 72, que é diferente de zero, a matriz é inversível!
Passo 3
Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a inversa. Vamos usar a fórmula da matriz adjunta:
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de cofatores. Vamos calcular cada cofator:
Para o elemento (1,1):
Para o elemento (1,2):
Para o elemento (1,3):
Para o elemento (2,1):
Para o elemento (2,2):
Para o elemento (2,3):
Para o elemento (3,1):
Para o elemento (3,2):
Para o elemento (3,3):
Agora, montamos a matriz de cofatores:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, multiplicamos a adjunta pelo inverso do determinante: