Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisamos lembrar que a Transformada de Laplace transforma funções do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais na equação transformada. Sabemos que:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos com
:
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, precisamos simplificar
e aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Vamos fatorar o denominador
:
Agora, reescrevemos
:
Para simplificar, vamos decompor em frações parciais cada termo e então aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
.
Resposta
Após realizar a decomposição em frações parciais e aplicar a Transformada Inversa de Laplace, a solução da equação diferencial é:
Que ao serem simplificadas e transformadas de volta para o domínio do tempo, resultam na função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.
Exercícios relacionados
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(o)
(o)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(k)
(k)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(k)
(k)
Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções: