Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d) y'' - 3y' + 2y = 4t + 12e^(-t) y(0) = 0, y' (0) = 1, y'' (0) = 0, y''' (0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisamos lembrar que a Transformada de Laplace transforma funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais na equação transformada. Sabemos que:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agrupar os termos com :
Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, precisamos simplificar e aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Vamos fatorar o denominador :
Agora, reescrevemos :
Para simplificar, vamos decompor em frações parciais cada termo e então aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar .

Resposta

Após realizar a decomposição em frações parciais e aplicar a Transformada Inversa de Laplace, a solução da equação diferencial é:
Que ao serem simplificadas e transformadas de volta para o domínio do tempo, resultam na função que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

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