Em que ponto a reta x=1+3 t, y=2-t intersecta
c) a parábola y=x^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: Em que ponto a reta , intersecta a parábola ? Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especificamente a substituição de equações paramétricas em uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos. A reta está dada de forma paramétrica:
x = 1 + 3t
y = 2 - t
E a parábola é:
y = x^2
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que as coordenadas da reta também satisfaçam a equação da parábola.

Passo 3

Para isso, vamos substituir o valor de 2 - t = (1 + 3t)^2 da reta na equação da parábola. Ou seja:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 4

Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:
(1 + 3t)^2 = 1 + 6t + 9t^2
Então, a equação fica:
2 - t = 1 + 6t + 9t^2

Passo 5

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática igual a zero:
9t^2 + 6t + 1 - 2 + t = 0
Simplificando:
9t^2 + 7t - 1 = 0

Passo 6

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde , e .

Passo 7

Calculando o discriminante ( De):
Como , teremos duas soluções reais para .

Passo 8

Aplicando na fórmula de Bhaskara:
t = -7 pm raiz8518
Então, temos dois valores de t1 = -7 + raiz8518 :
t2 = -7 - raiz8518

Passo 9

Agora, vamos encontrar as coordenadas x1 = 1 + 3 cdot -7 + raiz8518 = 1 + -21 + 3raiz8518 = 18 - 21 + 3raiz8518 = -3 + 3raiz8518 = -1 + raiz856 correspondentes a cada valor de y1 = 2 - -7 + raiz8518 = 36 + 7 - raiz8518 = 43 - raiz8518 usando as equações da reta.
Para x2 = 1 + 3 cdot -7 - raiz8518 = 1 + -21 - 3raiz8518 = 18 - 21 - 3raiz8518 = -3 - 3raiz8518 = -1 - raiz856 :
y2 = 2 - -7 - raiz8518 = 36 + 7 + raiz8518 = 43 + raiz8518
Para :

Resposta

Os pontos de interseção são:
( -1 + raiz856, 43 - raiz8518 ) e ( -1 - raiz856, 43 + raiz8518 )

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