Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das elipses de equações, desenhe-as: x^225+y^216=1

Passo 1

O problema pede para determinar as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos da elipse dada pela equação x^225+y^216=1. Vamos precisar entender as propriedades de uma elipse e como identificar seus elementos principais a partir da equação padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com centros no ponto (h, k) é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
onde:
  • a é o semi-eixo maior,
  • b é o semi-eixo menor.
No nosso caso, a equação é x^225+y^216=1. Comparando com a equação padrão, vemos que h = 0 e k = 0, então o centro da elipse está na origem (0, 0).

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a e b:
a^2 = 25 Rightarrow a = raiz25 = 5
b^2 = 16 Rightarrow b = raiz16 = 4
Portanto:
  • O semi-eixo maior a é igual a 5.
  • O semi-eixo menor b é igual a 4.

Passo 4

As medidas completas dos eixos são:
  • Eixo maior: 2a = 2 times 5 = 10
  • Eixo menor: 2b = 2 times 4 = 8

Passo 5

Para encontrar as coordenadas dos focos da elipse, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
onde c é a distância do centro aos focos.
Calculando:
c = raiz25 - 16 = raiz9 = 3
Como a elipse está alinhada no eixo x, os focos estarão nas posições (pm c, 0).

Resposta

As medidas dos eixos da elipse são:
  • Eixo maior: 10 unidades
  • Eixo menor: 8 unidades
As coordenadas dos focos são (3, 0) e (-3, 0).

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