Determine as reduzidas das retas: passa por A(2,-1,1) e é ortogonal a XY

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as reduzidas das retas que passam pelo ponto A(2,-1,1) e que são ortogonais ao plano XY. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como descrever uma reta no espaço e o que significa ser ortogonal a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser descrita por equações paramétricas ou equações reduzidas. As equações reduzidas geralmente têm a forma:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
onde (x0, y0, z0) é um ponto da reta e (a, b, c) é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa ser ortogonal ao plano XY. Um plano XY é definido por todos os pontos onde z pode variar, mas x e y estão no plano. Ser ortogonal a esse plano significa que a reta é perpendicular ao plano, ou seja, seu vetor diretor é paralelo ao vetor normal do plano XY.

Passo 4

O vetor normal ao plano XY é o vetor que aponta diretamente para cima ou para baixo, que é (0, 0, 1). Isso porque o plano XY é horizontal, e o vetor que aponta na direção do eixo Z é perpendicular a ele.

Passo 5

Com isso, já sabemos que o vetor diretor da nossa reta deve ser igual ou proporcional a (0, 0, 1). Então, vamos usar esse vetor junto com o ponto A(2,-1,1) para escrever as equações reduzidas da reta.

Passo 6

Substituindo na fórmula das equações reduzidas:
x - 20 = y + 10 = z - 11
No entanto, dividir por zero não faz sentido, o que indica que x e y são constantes na reta. Portanto, temos:
x = 2 e y = -1
Já para z, podemos deixar em função de um parâmetro, por exemplo, t:
z = 1 + t

Resposta

As equações reduzidas da reta são:
x = 2, y = -1, z = 1 + t onde t in R

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