Seja T(x, y, z)=(x+y,-2 x+4 y+3 z, 5 x+a^2 y-2 z), onde a in R. Encontre todos os valores de a que tornam a transformação linear T invertível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear e precisa descobrir para quais valores de essa transformação é invertível. Vamos usar conceitos de matrizes e determinantes para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é invertível se a sua matriz associada tiver determinante diferente de zero. Então, nosso objetivo é encontrar a matriz de e calcular seu determinante.

Passo 3

A matriz associada à transformação A = 1 & 1 & 0 -2 & 4 & 3 5 & a^2 & -2 é formada pelos coeficientes de , e nas expressões de . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot 4 & 3 a^2 & -2 - 1 cdot -2 & 3 5 & -2 + 0 cdot -2 & 4 5 & a^2 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado pela regra de Sarrus ou pela expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores para facilitar.

Passo 5

Calculando os determinantes das matrizes 2x2:
4 & 3 a^2 & -2 = (4)(-2) - (3)(a^2) = -8 - 3a^2
-2 & 3 5 & -2 = (-2)(-2) - (3)(5) = 4 - 15 = -11
-2 & 4 5 & a^2 = (-2)(a^2) - (4)(5) = -2a^2 - 20

Passo 6

Substituindo de volta no determinante de det(A) = 1 cdot (-8 - 3a^2) - 1 cdot (-11) + 0 cdot (-2a^2 - 20) :
det(A) = -8 - 3a^2 + 11 + 0 = 3 - 3a^2
Simplificando:

Passo 7

Para que a transformação 3 - 3a^2 neq 0 seja invertível, o determinante 3(1 - a^2) neq 0 Rightarrow 1 - a^2 neq 0 Rightarrow a^2 neq 1 deve ser diferente de zero:
Resolvendo a equação:

Passo 8

Isso significa que não pode ser igual a 1. Portanto, os valores de que tornam invertível são todos os números reais diferentes de e .

Resposta

A transformação linear é invertível para todos os valores de em , exceto quando ou .

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