Seja , onde . Encontre todos os valores de a que tornam a transformação linear invertível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear e precisa descobrir para quais valores de essa transformação é invertível. Vamos usar conceitos de matrizes e determinantes para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é invertível se a sua matriz associada tiver determinante diferente de zero. Então, nosso objetivo é encontrar a matriz de e calcular seu determinante.
Passo 3
A matriz associada à transformação é formada pelos coeficientes de , e nas expressões de . Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot 4 & 3 a^2 & -2 - 1 cdot -2 & 3 5 & -2 + 0 cdot -2 & 4 5 & a^2 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado pela regra de Sarrus ou pela expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores para facilitar.
Passo 5
Calculando os determinantes das matrizes 2x2:
4 & 3 a^2 & -2 = (4)(-2) - (3)(a^2) = -8 - 3a^2
-2 & 3 5 & -2 = (-2)(-2) - (3)(5) = 4 - 15 = -11
-2 & 4 5 & a^2 = (-2)(a^2) - (4)(5) = -2a^2 - 20
Passo 6
Substituindo de volta no determinante de det(A) = 1 cdot (-8 - 3a^2) - 1 cdot (-11) + 0 cdot (-2a^2 - 20) :
det(A) = -8 - 3a^2 + 11 + 0 = 3 - 3a^2
Simplificando:
Passo 7
Para que a transformação 3 - 3a^2 neq 0 seja invertível, o determinante 3(1 - a^2) neq 0 Rightarrow 1 - a^2 neq 0 Rightarrow a^2 neq 1 deve ser diferente de zero:
Resolvendo a equação:
Passo 8
Isso significa que não pode ser igual a 1. Portanto, os valores de que tornam invertível são todos os números reais diferentes de e .
Resposta
A transformação linear é invertível para todos os valores de em , exceto quando ou .