Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das elipses de equações, desenhe-as: 5 x^2+6 y^2=30

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação de uma elipse: . Nosso objetivo é encontrar as medidas dos eixos dessa elipse e as coordenadas dos focos. Para isso, vamos usar os conceitos de equação padrão da elipse, identificando os valores de e , que representam os semi-eixos maior e menor, respectivamente. Além disso, vamos calcular a posição dos focos usando a fórmula relacionada a esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da equação de uma elipse com eixo maior ao longo do eixo x^2a^2 + y^2b^2 = 1 ou 5x^230 + 6y^230 = 3030 é:
x^26 + y^25 = 1
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por 30:
Simplificando:

Passo 3

Agora, identificamos os valores de x^2a^2 + y^2b^2 = 1 e a^2 = 6 e b^2 = 5 na equação padrão. Comparando com a equação padrão:
a = raiz6 approx 2,45 e b = raiz5 approx 2,24
Temos:
Então, calculando e :
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor da elipse.

Passo 4

Para encontrar as coordenadas dos focos da elipse, usamos a fórmula:
c^2 = a^2 - b^2
Onde c^2 = 6 - 5 = 1 Rightarrow c = raiz1 = 1 é a distância do centro aos focos. Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Como a elipse está na forma (pm c, 0) = (pm 1, 0) , o eixo maior está ao longo do eixo . Portanto, os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo .
As coordenadas dos focos são:
Ou seja, os focos estão nos pontos e .

Resposta

A elipse dada pela equação tem:
  • Eixo maior com comprimento unidades.
  • Eixo menor com comprimento unidades.
  • Focos localizados nos pontos e .

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