Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das elipses de equações, desenhe-as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação de uma elipse:
. Nosso objetivo é encontrar as medidas dos eixos dessa elipse e as coordenadas dos focos. Para isso, vamos usar os conceitos de equação padrão da elipse, identificando os valores de
e
, que representam os semi-eixos maior e menor, respectivamente. Além disso, vamos calcular a posição dos focos usando a fórmula relacionada a esses parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da equação de uma elipse com eixo maior ao longo do eixo
ou
é:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por 30:
Simplificando:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de
e
na equação padrão. Comparando com a equação padrão:
Temos:
Então, calculando
e
:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor da elipse.
Passo 4
Para encontrar as coordenadas dos focos da elipse, usamos a fórmula:
Onde
é a distância do centro aos focos. Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Como a elipse está na forma
, o eixo maior está ao longo do eixo
. Portanto, os focos estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo
.
As coordenadas dos focos são:
Ou seja, os focos estão nos pontos
e
.
Resposta
A elipse dada pela equação
tem:
- Eixo maior com comprimento
unidades. - Eixo menor com comprimento
unidades. - Focos localizados nos pontos
e .