Seja beta=v1, cdots, vn uma base ortonormal de um espaço vetorial V.
Conclua que, se v=c1 nu1+cdots cn nun, então |nu|=raizc1^2+cdots+cn^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma base ortonormal de um espaço vetorial . Queremos mostrar que, se um vetor é uma combinação linear desses vetores de base, ou seja, , então a norma de , representada por , é igual a . Para isso, vamos utilizar conceitos de bases ortonormais e cálculo de normas em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se os vetores são todos de norma 1 (ou seja, ) e são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno para ).

Passo 3

Agora, consideremos o vetor . A norma de é calculada utilizando o produto interno, de forma que . Vamos calcular esse produto interno passo a passo.

Passo 4

Calculando o produto interno lang<= v, v rang<= = lang<= c1v1 + cdots + cnvn, c1v1 + cdots + cnvn rang<= :
lang<= v, v rang<= = c1^2 lang<= v1, v1 rang<= + cdots + cn^2 lang<= vn, vn rang<= + termos cruzados
Usando a propriedade distributiva do produto interno, expandimos a expressão:

Passo 5

Como a base é ortonormal, sabemos que lang<= v, v rang<= = c1^2 + c2^2 + cdots + cn^2 para e . Portanto, todos os termos cruzados são iguais a zero, e temos:

Passo 6

Finalmente, a norma de |v| = raizlang<= v, v rang<= = raizc1^2 + c2^2 + cdots + cn^2 é a raiz quadrada do produto interno:

Resposta

A norma de é igual a .

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