Seja
uma base ortonormal de um espaço vetorial
.
Conclua que, se
, então
.
Conclua que, se
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma base ortonormal
de um espaço vetorial
. Queremos mostrar que, se um vetor
é uma combinação linear desses vetores de base, ou seja,
, então a norma de
, representada por
, é igual a
. Para isso, vamos utilizar conceitos de bases ortonormais e cálculo de normas em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base
é ortonormal se os vetores são todos de norma 1 (ou seja,
) e são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno
para
).
Passo 3
Agora, consideremos o vetor
. A norma de
é calculada utilizando o produto interno, de forma que
. Vamos calcular esse produto interno passo a passo.
Passo 4
Calculando o produto interno
:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, expandimos a expressão:
Passo 5
Como a base é ortonormal, sabemos que
para
e
. Portanto, todos os termos cruzados são iguais a zero, e temos:
Passo 6
Finalmente, a norma de
é a raiz quadrada do produto interno:
Resposta
A norma de
é igual a
.