Vamos lá! A gente tem um exercício de geometria no espaço envolvendo pontos raiz|Q P|^2|Q R|^2-(Q P cdot Q R)^2 , e . A missão é provar que a área do paralelogramo formado por esses pontos é igual a
Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre vetores, produto escalar (ou dot product) e como calcular a área de um paralelogramo usando vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os vetores envolvidos. Temos os vetores e , que representam as arestas do paralelogramo saindo do ponto . A área de um paralelogramo formado por dois vetores pode ser calculada usando o produto vetorial, que nos dá a área diretamente. Mas como o enunciado nos dá uma expressão com produto escalar, vamos relacionar essas duas formas.
Passo 3
Sabemos que a área A = |u times v| do paralelogramo formado por dois vetores e é dada por:
O produto vetorial resulta em um vetor cuja magnitude é igual à área do paralelogramo.
Passo 4
Por outro lado, temos a fórmula do produto escalar, que relaciona o ângulo entre os dois vetores:
u cdot v = |u| |v| cos(theta)
Onde é o ângulo entre e .
Passo 5
Lembrando que o quadrado do produto vetorial pode ser expresso em termos das normas dos vetores e do produto escalar:
|u times v|^2 = |u|^2 |v|^2 - (u cdot v)^2
Essa é uma identidade importante que conecta o produto vetorial com o produto escalar.
Passo 6
Aplicando essa identidade aos vetores |Q P times Q R|^2 = |Q P|^2 |Q R|^2 - (Q P cdot Q R)^2 e , temos:
Passo 7
Para encontrar a área A = |Q P times Q R| = raiz|Q P|^2 |Q R|^2 - (Q P cdot Q R)^2 , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Portanto, a área do paralelogramo formado pelos pontos raiz|Q P|^2|Q R|^2-(Q P cdot Q R)^2 , e é