© Sejam e pontos genéricos do espaço. Prove que a área do paralelogramo que tem e como vértices consecutivos coincide com

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício de geometria no espaço envolvendo pontos , e . A missão é provar que a área do paralelogramo formado por esses pontos é igual a
Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre vetores, produto escalar (ou dot product) e como calcular a área de um paralelogramo usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os vetores envolvidos. Temos os vetores e , que representam as arestas do paralelogramo saindo do ponto . A área de um paralelogramo formado por dois vetores pode ser calculada usando o produto vetorial, que nos dá a área diretamente. Mas como o enunciado nos dá uma expressão com produto escalar, vamos relacionar essas duas formas.

Passo 3

Sabemos que a área do paralelogramo formado por dois vetores e é dada por:
O produto vetorial resulta em um vetor cuja magnitude é igual à área do paralelogramo.

Passo 4

Por outro lado, temos a fórmula do produto escalar, que relaciona o ângulo entre os dois vetores:
Onde é o ângulo entre e .

Passo 5

Lembrando que o quadrado do produto vetorial pode ser expresso em termos das normas dos vetores e do produto escalar:
Essa é uma identidade importante que conecta o produto vetorial com o produto escalar.

Passo 6

Aplicando essa identidade aos vetores e , temos:

Passo 7

Para encontrar a área , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Portanto, a área do paralelogramo formado pelos pontos , e é

Exercícios relacionados

Utilize o produto misto para mostrar que:
Determine, por meio de operações elementares, a inversa da matriz:
c)
De uma população normal com , retira-se uma amostra de 50 elementos e obtém-se .
(a) Construir um intervalo de confiança para a média populacional ao nível de de confiança.
(b) Qual o erro de estimação ao nível de de confiança?
© Para que o erro seja menor ou igual a 1, com probabilidade de acerto , qual deverá ser o tamanho da amostra?
(R:(a) (b) © )
Se o ponto pertence a reta que passa pelos pontos e , determine e .