Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que
é um ponto crítico da função
, e nos fornece as derivadas de segunda ordem nesse ponto:
,
, e
. Vamos usar essas informações para descobrir se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro, como é um ponto crítico, sabemos que as derivadas parciais de primeira ordem são zero nesse ponto. O próximo passo para classificar o tipo de ponto crítico é utilizar o teste da segunda derivada. Esse teste envolve calcular o discriminante
, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o discriminante
usando os valores fornecidos:
Passo 4
Agora, analisamos o valor de
. Se
e
, temos um mínimo local. Se
e
, temos um máximo local. Se
, é um ponto de sela. Mas e quando
? Nesse caso, o teste da segunda derivada é inconclusivo, e precisamos analisar mais a fundo ou usar outros métodos para determinar a natureza do ponto crítico.
Passo 5
Como
, o teste não nos dá uma resposta clara. Portanto, com as informações fornecidas, não podemos determinar se o ponto
é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Precisaríamos de informações adicionais ou de um teste mais aprofundado para concluir.
Resposta
Com base no teste da segunda derivada, não é possível determinar a natureza do ponto crítico
, pois o discriminante
deixa o teste inconclusivo.
Exercícios relacionados
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Determine a menos distância do ponto
à parábola
.