Suponha que 0,2 seja um ponto crítico de uma função g com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre g ?
g_xx(0,2)=4, g_xy(0,2)=6, g_yy(0,2)=9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que 0,2 é um ponto crítico da função g, e nos fornece as derivadas de segunda ordem nesse ponto: , , e . Vamos usar essas informações para descobrir se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro, como é um ponto crítico, sabemos que as derivadas parciais de primeira ordem são zero nesse ponto. O próximo passo para classificar o tipo de ponto crítico é utilizar o teste da segunda derivada. Esse teste envolve calcular o discriminante D, que é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o discriminante D usando os valores fornecidos:

Passo 4

Agora, analisamos o valor de D. Se e , temos um mínimo local. Se e , temos um máximo local. Se , é um ponto de sela. Mas e quando ? Nesse caso, o teste da segunda derivada é inconclusivo, e precisamos analisar mais a fundo ou usar outros métodos para determinar a natureza do ponto crítico.

Passo 5

Como , o teste não nos dá uma resposta clara. Portanto, com as informações fornecidas, não podemos determinar se o ponto 0,2 é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Precisaríamos de informações adicionais ou de um teste mais aprofundado para concluir.

Resposta

Com base no teste da segunda derivada, não é possível determinar a natureza do ponto crítico 0,2, pois o discriminante deixa o teste inconclusivo.

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