Suponha que seja um ponto crítico de uma função com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que é um ponto crítico da função , e nos fornece as derivadas de segunda ordem nesse ponto: , , e . Vamos usar essas informações para descobrir se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro, como é um ponto crítico, sabemos que as derivadas parciais de primeira ordem são zero nesse ponto. O próximo passo para classificar o tipo de ponto crítico é utilizar o teste da segunda derivada. Esse teste envolve calcular o discriminante , que é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o discriminante usando os valores fornecidos:

Passo 4

Agora, analisamos o valor de . Se e , temos um mínimo local. Se e , temos um máximo local. Se , é um ponto de sela. Mas e quando ? Nesse caso, o teste da segunda derivada é inconclusivo, e precisamos analisar mais a fundo ou usar outros métodos para determinar a natureza do ponto crítico.

Passo 5

Como , o teste não nos dá uma resposta clara. Portanto, com as informações fornecidas, não podemos determinar se o ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Precisaríamos de informações adicionais ou de um teste mais aprofundado para concluir.

Resposta

Com base no teste da segunda derivada, não é possível determinar a natureza do ponto crítico , pois o discriminante deixa o teste inconclusivo.

Exercícios relacionados

Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Determine a menos distância do ponto à parábola .