Determine a mínima declividade necessária para que um canal trapezoidal, taludes
, transporte
, com uma velocidade média igual a
. Adote o coeficiente de rugosidade de Manning igual a 0,025.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um canal trapezoidal com taludes de 4H:1V, ou seja, para cada 4 metros horizontais, sobe 1 metro vertical. Precisamos descobrir qual a declividade mínima $ S $ desse canal para que ele transporte uma vazão de $ Q = 6,0 , m^3/s $ com uma velocidade média de $ V = 0,60 , m/s $. Para isso, vamos usar a Equação de Manning, que relaciona a velocidade da água, o coeficiente de rugosidade, o raio hidráulico e a declividade do canal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Manning:
Onde:
- $ V $ é a velocidade média da água,
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
- $ R $ é o raio hidráulico,
- $ S $ é a declividade do canal.
Sabemos $ V $, $ n $, e queremos encontrar $ S $, mas precisamos calcular $ R $.
Passo 3
O raio hidráulico $ R $ é dado por:
Onde:
- $ A $ é a área da seção transversal do fluxo,
- $ P $ é o perímetro molhado.
Para um canal trapezoidal, a área $ A $ e o perímetro molhado $ P $ são calculados da seguinte forma:
Aqui:
- $ b $ é a largura da base do canal,
- $ z $ é a razão do talude horizontal para vertical (no caso, 4),
- $ y $ é a profundidade do fluxo.
Passo 4
Sabemos que a vazão $ Q $ também está relacionada com a área e a velocidade:
Como conhecemos $ Q $ e $ V $, podemos isolar a área $ A $:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos expressar $ A $ em termos de $ y $ usando a fórmula da área do canal trapezoidal:
Temos $ A = 10,0 , m^2 $, mas ainda não conhecemos $ b $ e $ y $. Precisamos de mais informações ou suposições para continuar. No entanto, como estamos buscando a declividade mínima, podemos assumir uma relação entre $ b $ e $ y $ que simplifique os cálculos.
Passo 6
Para simplificar, assumiremos que a largura da base $ b $ é negligenciável comparada com os demais termos, ou seja, $ b \approx 0 $. Assim, a área fica:
Então:
Passo 7
Agora que temos $ y $, podemos calcular o perímetro molhado $ P $:
Passo 8
Com $ A = 10,0 , m^2 $ e $ P = 13,05 , m $, o raio hidráulico $ R $ é:
Passo 9
Agora, voltamos à Equação de Manning para encontrar $ S $:
Isolando $ S $:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos $ R^{2/3} $:
Agora:
Resposta
A declividade mínima necessária do canal é aproximadamente $ S = 0,00033 $ ou $ 0,033% $.
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