Determine a mínima declividade necessária para que um canal trapezoidal, taludes 4 H: 1 V, transporte 6,0 m^3 / s, com uma velocidade média igual a 0,60 m / s. Adote o coeficiente de rugosidade de Manning igual a 0,025.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um canal trapezoidal com taludes de 4H:1V, ou seja, para cada 4 metros horizontais, sobe 1 metro vertical. Precisamos descobrir qual a declividade mínima $ S $ desse canal para que ele transporte uma vazão de $ Q = 6,0 , m^3/s $ com uma velocidade média de $ V = 0,60 , m/s $. Para isso, vamos usar a Equação de Manning, que relaciona a velocidade da água, o coeficiente de rugosidade, o raio hidráulico e a declividade do canal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Manning:
V = 1n R^2/3 S^1/2
Onde:
  • $ V $ é a velocidade média da água,
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
  • $ R $ é o raio hidráulico,
  • $ S $ é a declividade do canal.
Sabemos $ V $, $ n $, e queremos encontrar $ S $, mas precisamos calcular $ R $.

Passo 3

O raio hidráulico $ R $ é dado por:
R
Onde:
  • $ A $ é a área da seção transversal do fluxo,
  • $ P $ é o perímetro molhado.
Para um canal trapezoidal, a área $ A $ e o perímetro molhado $ P $ são calculados da seguinte forma:
R = AP
A
Aqui:
  • $ b $ é a largura da base do canal,
  • $ z $ é a razão do talude horizontal para vertical (no caso, 4),
  • $ y $ é a profundidade do fluxo.

Passo 4

Sabemos que a vazão $ Q $ também está relacionada com a área e a velocidade:
Q
Como conhecemos $ Q $ e $ V $, podemos isolar a área $ A $:
Q = V times A
Substituindo os valores:
Q

Passo 5

Agora, vamos expressar $ A $ em termos de $ y $ usando a fórmula da área do canal trapezoidal:
A
Temos $ A = 10,0 , m^2 $, mas ainda não conhecemos $ b $ e $ y $. Precisamos de mais informações ou suposições para continuar. No entanto, como estamos buscando a declividade mínima, podemos assumir uma relação entre $ b $ e $ y $ que simplifique os cálculos.

Passo 6

Para simplificar, assumiremos que a largura da base $ b $ é negligenciável comparada com os demais termos, ou seja, $ b \approx 0 $. Assim, a área fica:
b
Então:
b approx 0

Passo 7

Agora que temos $ y $, podemos calcular o perímetro molhado $ P $:
y

Passo 8

Com $ A = 10,0 , m^2 $ e $ P = 13,05 , m $, o raio hidráulico $ R $ é:
A = 10,0 , m^2

Passo 9

Agora, voltamos à Equação de Manning para encontrar $ S $:
S
Isolando $ S $:
V = 1n R^2/3 S^1/2
Substituindo os valores:
S
Primeiro, calculamos $ R^{2/3} $:
S = ( V nR^2/3 )^2
Agora:
S = ( 0,60 times 0,0250,767^2/3 )^2

Resposta

A declividade mínima necessária do canal é aproximadamente $ S = 0,00033 $ ou $ 0,033% $.

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