Determine de modo que a equação
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar os coeficientes de forma que a equação
seja satisfeita. Além disso, precisamos identificar a função representada pela série .
Estamos trabalhando com séries de potências e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar manipular as séries e aplicar conceitos básicos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série pode ser representada como uma função, digamos . Então,
Isso simplifica nossa equação original para:

Passo 3

Observamos que a primeira soma é a derivada de . Isso porque, ao derivar , temos:
Então, nossa equação fica:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver essa equação, podemos rearranjá-la para:
Isso indica que a taxa de variação de é proporcional a vezes .

Passo 5

Sabemos que a solução geral de uma equação diferencial da forma é:
onde é uma constante. No nosso caso, , então:

Passo 6

Agora, vamos expressar como uma série de potências:
Comparando com a definição inicial de , temos:

Passo 7

Portanto, os coeficientes que satisfazem a equação dada são:
onde é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais, se houver.

Resposta

Os coeficientes são dados por
onde é uma constante.

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