Determine
de modo que a equação
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinar os coeficientes
de forma que a equação
seja satisfeita. Além disso, precisamos identificar a função representada pela série
.
Estamos trabalhando com séries de potências e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar manipular as séries e aplicar conceitos básicos de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a série
pode ser representada como uma função, digamos
. Então,
Isso simplifica nossa equação original para:
Passo 3
Observamos que a primeira soma
é a derivada de
. Isso porque, ao derivar
, temos:
Então, nossa equação fica:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver essa equação, podemos rearranjá-la para:
Isso indica que a taxa de variação de
é proporcional a
vezes
.
Passo 5
Sabemos que a solução geral de uma equação diferencial da forma
é:
onde
é uma constante. No nosso caso,
, então:
Passo 6
Agora, vamos expressar
como uma série de potências:
Comparando com a definição inicial de
, temos:
Passo 7
Portanto, os coeficientes
que satisfazem a equação dada são:
onde
é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais, se houver.
Resposta
Os coeficientes
são dados por
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
Fazendo a mudança de variável
e supondo que
tem uma série de Taylor em potências em
, encontre duas soluções em séries linearmente independentes de
em potências de
. Mostre que você obtem o mesmo resultado diretamente, supondo que
é dado por uma série de Taylor em potências de
e expressando o coeficiente
em potências de
.
Encontre a transformada da solução do problema de valor inicial.
Encontre a transformada de Laplace da função dada.