Determine an de modo que a equação
sumn=1^infty n an x^n-1+2 sumn=0^infty an x^n=0
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série sumn=0^infty an x^n

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar os coeficientes sumn=1^infty n an x^n-1 + 2 sumn=0^infty an x^n = 0 de forma que a equação
seja satisfeita. Além disso, precisamos identificar a função representada pela série .
Estamos trabalhando com séries de potências e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar manipular as séries e aplicar conceitos básicos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série f(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser representada como uma função, digamos sumn=1^infty n an x^n-1 + 2 f(x) = 0 . Então,
Isso simplifica nossa equação original para:

Passo 3

Observamos que a primeira soma f'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 é a derivada de f'(x) + 2 f(x) = 0 . Isso porque, ao derivar , temos:
Então, nossa equação fica:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
f'(x) + 2 f(x) = 0
Para resolver essa equação, podemos rearranjá-la para:
f'(x) = -2 f(x)
Isso indica que a taxa de variação de é proporcional a vezes .

Passo 5

Sabemos que a solução geral de uma equação diferencial da forma f(x) = C e^k x é:
f(x) = C e^-2x
onde é uma constante. No nosso caso, , então:

Passo 6

Agora, vamos expressar f(x) = C e^-2x = C sumn=0^infty (-2x)^nn! = sumn=0^infty C (-2)^nn! x^n como uma série de potências:
an = C (-2)^nn!
Comparando com a definição inicial de , temos:

Passo 7

Portanto, os coeficientes an = C (-2)^nn! que satisfazem a equação dada são:
onde é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais, se houver.

Resposta

Os coeficientes an = C (-2)^nn! são dados por
onde é uma constante.

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