Encontre a transformada de Laplace da função dada.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é para encontrar a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa em matemática para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. A gente vai precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em funções que são multiplicadas por funções de degrau , que servem para “ligar” a função em certos pontos no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de degrau unitário é igual a 0 para e igual a 1 para . Isso significa que ativa a função somente a partir de , e ativa a partir de .

Passo 3

A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Isso nos ajuda a lidar com funções que começam em um certo tempo .

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada termo da função .
Para :
Sabemos que e , então:
Para :
Novamente, aplicando as transformadas:

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes para obter a Transformada de Laplace completa de :
Podemos fatorar :

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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Encontre a transformada da solução do problema de valor inicial.
Determine de modo que a equação
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
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