Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que o problema está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
no intervalo onde
. A matéria que vamos usar aqui envolve funções de Heaviside (ou funções degrau unitário). Vamos precisar entender como essas funções funcionam para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Heaviside
. Essa função é definida assim:
Ela basicamente “liga” a função quando
alcança o valor
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
.
Perceba que os dois termos possuem
, o que significa que ambos “ligam” a função quando
. Vamos simplificar essa expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora que simplificamos a função para
, vamos esboçar o gráfico dela. Sabemos que
é 0 para
e 1 para
. Portanto:
- Para
: - Para
:
Passo 5
Vamos representar isso graficamente:
- Antes de
: A função vale 0. Então, temos uma linha horizontal no valor 0. - Em
: A função “salta” para -1. Esse ponto é representado por um círculo fechado em (3, -1). - Depois de
: A função permanece constante em -1, com uma linha horizontal nesse valor.
Passo 6
Resumindo, o gráfico da função
no intervalo
é:
- Linha horizontal em 0 para
. - Salto para -1 em
. - Linha horizontal em -1 para
.
Resposta
O gráfico da função
para
é uma linha horizontal em 0 até
, onde a função salta para -1 e permanece constante nesse valor para
.
Exercícios relacionados
Fazendo a mudança de variável
e supondo que
tem uma série de Taylor em potências em
, encontre duas soluções em séries linearmente independentes de
em potências de
. Mostre que você obtem o mesmo resultado diretamente, supondo que
é dado por uma série de Taylor em potências de
e expressando o coeficiente
em potências de
.
Escreva a expressão dada com uma série cujo o termo geral envolve
.
Determine
de modo que a equação
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série
Encontre a transformada da solução do problema de valor inicial.