Fazendo a mudança de variável e supondo que tem uma série de Taylor em potências em , encontre duas soluções em séries linearmente independentes de
em potências de . Mostre que você obtem o mesmo resultado diretamente, supondo que é dado por uma série de Taylor em potências de e expressando o coeficiente em potências de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar duas soluções independentes de uma equação diferencial usando séries de Taylor. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais e séries de potências. Para resolver, vamos precisar fazer uma mudança de variável, expandir em séries de Taylor e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: . Isso significa que . Vamos substituir isso na equação diferencial dada:
Substituindo :
Simplificando :
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, assumimos que pode ser representado por uma série de Taylor em potências de :
Vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
Vamos substituir :
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, juntamos todos os termos na mesma potência de :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos escrever as equações para diferentes valores de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Vamos agora encontrar os coeficientes . Primeiro, definimos e como constantes, já que são livres.
A partir das relações encontradas:
Para :
E assim por diante. Notamos que os coeficientes ímpares dependem de e os pares de , formando duas soluções distintas.

Passo 7

Dessa forma, temos duas soluções independentes:
  1. Primeira solução ( ) com e livre.
  2. Segunda solução ( ) com e livre.
Expressando em séries:

Resposta

As duas soluções linearmente independentes da equação diferencial são dadas por:
e
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Escreva a expressão dada com uma série cujo o termo geral envolve .
Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto .
Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
Determine de modo que a equação
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série