Fazendo a mudança de variável
e supondo que
tem uma série de Taylor em potências em
, encontre duas soluções em séries linearmente independentes de
em potências de
. Mostre que você obtem o mesmo resultado diretamente, supondo que
é dado por uma série de Taylor em potências de
e expressando o coeficiente
em potências de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar duas soluções independentes de uma equação diferencial usando séries de Taylor. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais e séries de potências. Para resolver, vamos precisar fazer uma mudança de variável, expandir em séries de Taylor e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida:
. Isso significa que
. Vamos substituir isso na equação diferencial dada:
Substituindo
:
Simplificando
:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, assumimos que
pode ser representado por uma série de Taylor em potências de
:
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
Vamos substituir
:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 5
Agora, juntamos todos os termos na mesma potência de
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos escrever as equações para diferentes valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Vamos agora encontrar os coeficientes
. Primeiro, definimos
e
como constantes, já que são livres.
A partir das relações encontradas:
Para
:
E assim por diante. Notamos que os coeficientes ímpares dependem de
e os pares de
, formando duas soluções distintas.
Passo 7
Dessa forma, temos duas soluções independentes:
- Primeira solução (
) com e livre. - Segunda solução (
) com e livre.
Expressando em séries:
Resposta
As duas soluções linearmente independentes da equação diferencial são dadas por:
e
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Escreva a expressão dada com uma série cujo o termo geral envolve
.
Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto
.
Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
Determine
de modo que a equação
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série