Encontre a transformada da solução do problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
com e .
A matéria que vamos usar aqui envolve Transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial, usar as propriedades das transformadas e resolver para a transformada da solução .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é . Como e , simplificamos para .
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
onde é a função do lado direito da equação, ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de . Observamos que é uma função que vale de 0 a 1 e zero depois. Podemos expressar isso usando a função degrau (heaviside) :
A Transformada de Laplace dessa função é:

Passo 4

Substituindo a Transformada de na equação transformada, temos:
Agora, vamos isolar :
Então:

Resposta

A transformada de Laplace da solução é:

Exercícios relacionados

Determine de modo que a equação
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série
Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Encontre a transformada de Laplace da função dada.