Encontre a transformada da solução do problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
com
e
.
A matéria que vamos usar aqui envolve Transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial, usar as propriedades das transformadas e resolver para a transformada da solução
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de
é
. Como
e
, simplificamos para
.
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
onde
é a função do lado direito da equação, ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de
. Observamos que
é uma função que vale
de 0 a 1 e zero depois. Podemos expressar isso usando a função degrau (heaviside)
:
A Transformada de Laplace dessa função é:
Passo 4
Substituindo a Transformada de
na equação transformada, temos:
Agora, vamos isolar
:
Então:
Resposta
A transformada de Laplace da solução
é:
Exercícios relacionados
Determine
de modo que a equação
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série
Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Encontre a transformada de Laplace da função dada.