Encontre a transformada da solução do problema de valor inicial.
& y^prime prime+y= t, & 0 <= t<1 0, & 1 <= t

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y'' + y = t, & 0 <= t < 1 0, & 1 <= t < infty
com y(0) = 0 e y'(0) = 0.
A matéria que vamos usar aqui envolve Transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial, usar as propriedades das transformadas e resolver para a transformada da solução Y(s).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de y''(t) é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0). Como y(0) = 0 e y'(0) = 0, simplificamos para s^2 Y(s).
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
s^2 Y(s) + Y(s) = Lf(t)
onde f(t) é a função do lado direito da equação, ou seja:
f(t) = t, & 0 <= t < 1 0, & 1 <= t < infty

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de f(t). Observamos que f(t) é uma função que vale t de 0 a 1 e zero depois. Podemos expressar isso usando a função degrau (heaviside) u(t):
f(t) = t cdot u(1 - t)
A Transformada de Laplace dessa função é:
Lt cdot u(1 - t) = 1 - e^-ss^2

Passo 4

Substituindo a Transformada de f(t) na equação transformada, temos:
s^2 Y(s) + Y(s) = 1 - e^-ss^2
Agora, vamos isolar Y(s):
Y(s) (s^2 + 1) = 1 - e^-ss^2
Então:
Y(s) = 1 - e^-ss^2 (s^2 + 1)

Resposta

A transformada de Laplace da solução y(t) é:
Y(s) = 1 - e^-ss^2 (s^2 + 1)

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