Quais as possíveis posições relativas entre planos?

Passo 1

Vamos resolver a questão: “Quais as possíveis posições relativas entre planos?”. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a posição relativa de planos no espaço tridimensional. Para responder, precisamos entender como dois planos podem se relacionar no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano no espaço é uma superfície plana e infinita que pode ser definida por uma equação geral da forma:
ax + by + cz + d = 0
onde são coeficientes que determinam a orientação do plano, e é o termo constante.

Passo 3

Agora, para entender as posições relativas entre dois planos, vamos considerar dois planos quaisquer:
a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0

Passo 4

Existem três possibilidades principais de como esses dois planos podem estar posicionados em relação um ao outro:
  1. Planos coincidentes: Os dois planos são exatamente o mesmo plano, ou seja, todas as coordenadas que satisfazem um plano também satisfazem o outro.
  2. Planos paralelos e distintos: Os planos têm a mesma orientação, mas estão em posições diferentes, de forma que nunca se encontram. Isso acontece quando os coeficientes de são proporcionais, mas os termos constantes são diferentes.
  3. Planos que se interceptam ao longo de uma reta: Os planos não são paralelos e, portanto, se cruzam formando uma linha reta onde todas as soluções das duas equações coincidem.

Passo 5

Vamos detalhar cada caso:
  1. Planos coincidentes:
    • As equações dos planos são múltiplos umas das outras.
    • Exemplo: Se multiplicarmos a primeira equação por um número e obtivermos a segunda, os planos são coincidentes.
  2. Planos paralelos e distintos:
    • Os coeficientes são proporcionais, ou seja, , mas .
    • Não há solução comum para as duas equações.
  3. Planos que se interceptam ao longo de uma reta:
    • Os planos não são paralelos, ou seja, os coeficientes não são proporcionais.
    • Existe uma infinidade de soluções que formam uma linha reta de interseção.

Resposta

As possíveis posições relativas entre dois planos são:
  1. Planos coincidentes (são o mesmo plano).
  2. Planos paralelos e distintos (não se encontram).
  3. Planos que se interceptam ao longo de uma reta.

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