Quais as possíveis posições relativas entre planos?
Passo 1
Vamos resolver a questão: “Quais as possíveis posições relativas entre planos?”. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a posição relativa de planos no espaço tridimensional. Para responder, precisamos entender como dois planos podem se relacionar no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano no espaço é uma superfície plana e infinita que pode ser definida por uma equação geral da forma:
onde
são coeficientes que determinam a orientação do plano, e
é o termo constante.
Passo 3
Agora, para entender as posições relativas entre dois planos, vamos considerar dois planos quaisquer:
Passo 4
Existem três possibilidades principais de como esses dois planos podem estar posicionados em relação um ao outro:
-
Planos coincidentes: Os dois planos são exatamente o mesmo plano, ou seja, todas as coordenadas
que satisfazem um plano também satisfazem o outro. -
Planos paralelos e distintos: Os planos têm a mesma orientação, mas estão em posições diferentes, de forma que nunca se encontram. Isso acontece quando os coeficientes de
são proporcionais, mas os termos constantes são diferentes. -
Planos que se interceptam ao longo de uma reta: Os planos não são paralelos e, portanto, se cruzam formando uma linha reta onde todas as soluções das duas equações coincidem.
Passo 5
Vamos detalhar cada caso:
-
Planos coincidentes:
- As equações dos planos são múltiplos umas das outras.
- Exemplo: Se multiplicarmos a primeira equação por um número e obtivermos a segunda, os planos são coincidentes.
-
Planos paralelos e distintos:
- Os coeficientes
são proporcionais, ou seja, , mas . - Não há solução comum para as duas equações.
- Os coeficientes
-
Planos que se interceptam ao longo de uma reta:
- Os planos não são paralelos, ou seja, os coeficientes
não são proporcionais. - Existe uma infinidade de soluções que formam uma linha reta de interseção.
- Os planos não são paralelos, ou seja, os coeficientes
Resposta
As possíveis posições relativas entre dois planos são:
- Planos coincidentes (são o mesmo plano).
- Planos paralelos e distintos (não se encontram).
- Planos que se interceptam ao longo de uma reta.