Determine x e y de modo que se tenha:
[ll y^3 & 3 x y^2 & 4 x ]+[cc -y & x^2 2 y & x ]+[rr -1 & 1 2 & 2 ]=[c 5 10

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes que, quando somadas, devem resultar em uma matriz que tem os valores 5 e 10. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra de Matrizes, especificamente a soma de matrizes e a resolução de sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar somar as matrizes elemento a elemento e depois resolver as equações resultantes para encontrar os valores de e .

Passo 2

Vamos começar somando as três matrizes dadas. As matrizes são:
A = y^3 & 3x y^2 & 4x , B = -y & x^2 2y & x , C = -1 & 1 2 & 2
A soma será uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos elementos correspondentes das matrizes , e .

Passo 3

Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento (1,1):
    y^3 + (-y) + (-1) = y^3 - y - 1
  • Elemento (1,2):
    3x + x^2 + 1 = x^2 + 3x + 1
  • Elemento (2,1):
    y^2 + 2y + 2 = y^2 + 2y + 2
  • Elemento (2,2):
    4x + x + 2 = 5x + 2
Portanto, a matriz somada fica:
A + B + C = y^3 - y - 1 & x^2 + 3x + 1 y^2 + 2y + 2 & 5x + 2

Passo 4

A questão diz que essa matriz somada é igual a uma matriz com os valores 5 e 10. Vamos supor que isso significa que os elementos (1,1) e (1,2) somados dão 5, e os elementos (2,1) e (2,2) somados dão 10. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para y^3 - y - 1 = 5 :
y^3 - y - 6 = 0
Subtraímos 5 de ambos os lados:
2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0
Testando valores inteiros, encontramos que satisfaz a equação:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação para x^2 + 3x + 1 = 10 :
x^2 + 3x - 9 = 0
Subtraímos 10 de ambos os lados:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
x = -3 pm raiz9 + 362 = -3 pm raiz452 = -3 pm 3raiz52
Onde x = -3 + 3raiz52 ou x = -3 - 3raiz52 , e . Substituindo:
Portanto, as soluções para são:

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
y = 2
e
x = -3 + 3raiz52 ou x = -3 - 3raiz52

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